高中数学 第一章 推理与证明 习题课 数学归纳法的应用课件 北师大版选修22.ppt

习题课 数学归纳法的应用 1 经验归纳法与数学归纳法结合数学归纳法实质上是演绎法的一种 它是一种必然推理 它只能证明与正整数有关的命题 却不能发现结论 我们常把经验归纳法与数学归纳法结合起来 形成归纳 猜想 证明的思想方法 既可以发现新命题 又能证明其正确性 组成一套完整的数学思想方法 2 数学归纳法的特征数学归纳法所证明的是与正整数有关的命题 实际上就是正整数的无穷性命题 但是数学归纳法的基本步骤是有穷的 仅仅只有两个步骤 而且这两个步骤缺一不可 数学归纳法是在可靠的基础上利用命题本身具有传递性 运用 有限 的手段来解决 无限 的问题 做一做1 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 的第二步是 a 假设n 2k 1时命题成立 再推n 2k 3时命题成立 k n b 假设n 2k 1时命题成立 再推n 2k 1时命题成立 k n c 假设n k时命题成立 再推n k 1时命题成立 k n d 假设n k k 1 时命题成立 再推n k 2时命题成立 k n 解析 因为n为正奇数 所以第二步应先假设第k个正奇数时命题成立 本题即假设n 2k 1时命题成立 再推第 k 1 个正奇数即n 2 k 1 时命题成立 答案 b 做一做2 在数列 an 中 a1 1 且sn sn 1 2s1成等差数列 通过求s2 s3 s4 猜想sn 解析 sn sn 1 2s1成等差数列 2sn 1 sn 2s1 又 s1 a1 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用数学归纳法证明整除问题 例1 已知f n 2n 7 3n 9 1 求f 1 f 2 f 3 的值 2 是否存在不小于2的正整数m 使得对于任意的正整数n f n 都能被m整除 如果存在 求出最大的m值 如果不存在 请说明理由 分析 本题考查利用数学归纳法证明整除问题的方法 求解时可先由f 1 f 2 f 3 的特征 探究出正整数m的值后 再用数学归纳法证明 解 1 f n 2n 7 3n 9 f 1 2 1 7 31 9 36 f 2 2 2 7 32 9 3 36 108 f 3 2 3 7 33 9 10 36 360 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 由 1 可以猜想最大的m 36 下面用数学归纳法证明 当n 1时 f 1 36 显然能被36整除 假设n k k 1 k n 时 f k 能被36整除 即 2k 7 3k 9能被36整除 则当n k 1时 f k 1 2 k 1 7 3k 1 9 2k 7 2 3k 3 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由假设可知 2k 7 3k 9能被36整除 3k 1 1是偶数 18 3k 1 1 也能被36整除 f k 1 能被36整除 由 和 可知对任意n n f n 都能被36整除 最大的m值为36 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟证明数或式的整除问题的方法应用数学归纳法证明有关整除问题时 为了利用归纳假设 常常用对通项进行拆项 添项 分解 组合的方法在要证的式子中拼凑出假设成立的式子 然后证明剩余的式子也能被某式 数 整除 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1若n n 求证 xn 1 x 1 2n 1能被x2 x 1整除 证明 1 当n 1时 x1 1 x 1 2 1 1 x2 x 1 显然x2 x 1能被x2 x 1整除 2 假设当n k k 1 k n 时结论成立 即xk 1 x 1 2k 1能被x2 x 1整除 当n k 1时 xk 2 x 1 2k 1 x 1 2 x 1 2k 1 xk 2 x 1 2xk 1 x 1 2xk 1 x 1 2 x 1 2k 1 xk 1 x2 x 1 xk 1 因为上式两项均能被x2 x 1整除 所以xk 2 x 1 2k 1能被x2 x 1整除 即n k 1时 结论也成立 由 1 和 2 可知xn 1 x 1 2n 1能被x2 x 1整除 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用数学归纳法证明几何问题 例2 在一平面内有n n 2 条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 证明这n条直线相互分割出n2条线段或射线 分析 用数学归纳法证明几何问题 关键要找到本题中从k到 k 1 条直线增加的线段或射线的条数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明 1 当n 2时 两条直线相交得到4条射线 命题成立 2 假设n k时 k k 2 条直线按题目要求相交可得k2条线段或射线 则当n k 1时 记这 k 1 条直线中的一条为l 其余k条直线相交可得到k2条线段或射线 直线l与这k条直线相交可新增加k个不同的交点 这k个点把直线l分成k 1段 又各自把它们所在线段或射线分成两部分 即又增加k条线段或射线 则新增加的线段或射线的条数为k 1 k 2k 1 从而 k 1 条直线相交 得到的线段或射线的条数为k2 2k 1 k 1 2 所以n k 1时命题也成立 由 1 和 2 可知命题对n n 且n 2成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟用数学归纳法证明几何问题的技巧 1 用数学归纳法可以证明与正整数n有关的几何问题 常见的形式有交点的个数问题 直线的条数问题 划分区域问题 以及构成的角的个数问题 2 证明几何问题的关键是 找项 即几何元素由k个变成 k 1 个 所证的几何量将增加多少 这需要用到几何知识或借助几何图形分析 3 几何问题的证明既要注意数形结合 又要注意有必要的文字证明 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2在一平面上有n个圆 其中每两个圆都相交于两点 并且三个圆都不相交于同一点 求证 这n个圆把平面分成f n n2 n 2部分 证明 1 当n 1时 一个圆把平面分成两部分 而f 1 1 1 2 2 因此 n 1时命题成立 2 假设n k k 1 k n 时命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2部分 若增加满足条件的任一个圆 则这个圆必与前k个圆相交于2k个点 这2k个点把这个圆分成2k段弧 每段弧把它所在的原有部分分成两部分 因此 平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分 即有f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 即当n k 1时 命题也成立 根据 1 和 2 可知n个圆把平面分成f n n2 n 2部分 探究一 探究二 探究三 思维辨析 归纳 猜想 证明 例3 已知数列 sn为其前n项和 n n 计算s1 s2 s3 s4 根据计算结果 猜想sn的表达式 并用数学归纳法进行证明 分析 本题考查数学归纳法在数列问题中的应用 根据s1 s2 s3 s4的结果 猜想sn的表达式 要注意观察项与项数的变化关系 从而归纳出构成数列的规律 同时还应注意各项之间的差异 探究一 探究二 探究三 思维辨析 可以看出 上面表示四个结果的分数中 分子与项数n一致 分母可用项数n表示为3n 1 于是可以猜想 sn 证明如下 左边 右边 猜想成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 假设当n k k 1 k n 时 猜想成立 当n k 1时猜想也成立 根据 1 和 2 可知猜想对任意n n 都成立 反思感悟1 解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点 1 计算特例时 不仅仅是简单的计算过程 有时要通过计算过程发现数据的变化规律 2 猜想必须准确 绝对不能猜错 否则将徒劳无功 3 如果猜想出来的结论与正整数n有关 一般用数学归纳法证明 2 通过观察 归纳 猜想 证明这一完整的过程去探索和发现问题 并证明所得出的结论的正确性 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3已知数列 an 中 a2 a 2 a为常数 sn是 an 的前n项和 且sn是nan与na的等差中项 1 求a1 a3 2 猜想an的表达式 并用数学归纳法加以证明 解 1 由已知得2sn nan na n an a 当n 1时 s1 a1 所以2a1 a1 a 即a1 a 当n 3时 s3 a1 a2 a3 所以有2 a1 a2 a3 3 a3 a 由于a2 a 2 a1 a 所以a3 a 4 2 由a1 a a2 a 2 a3 a 4 猜想an a 2 n 1 证明如下 当n 1时 左边 右边 等式成立 当n 2时 a2 a 2知等式也成立 假设n k k 2 时等式成立 即ak a 2 k 1 则当n k 1时 探究一 探究二 探究三 思维辨析 所以2ak 1 ak 1 a k 1 ak a k a 2 k 1 1 所以当n k 1时 等式也成立 由 和 可知对任意n n 等式an a 2 n 1 都成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 由n k变化为n k 1时 项数变化不正确而致误 典例 若不等式对一切正整数n都成立 求正整数a的最大值 并证明你的结论 1 n 1时 结论已证 探究一 探究二 探究三 思维辨析 故a的最大值为25 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得用数学归纳法证明时一定要注意从n k到n k 1时项数的变化情况 不仅要看后面增加项的多少 还要看前面是否减少了某项 探究一 探究二 探究三 思维辨析 n 2时等式成立 2 假设当n k k 2 k n 时等式成立 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知对任意n 2 n n 上述等式恒成立 12345 1 用数学归纳法证明命题 n3 n 1 3 n 2 3 n n 能被9整除 要利用假设证n k 1时的情况 只需要展开 a k 3 3b k 2 3c k 1 3d k 1 3 k 2 3解析 由假设n k时 k3 k 1 3 k 2 3能被9整除 证n k 1时 k 1 3 k 2 3 k 3 3能被9整除 其中项的变化是多了 k 3 3 且少了k3 故只需将 k 3 3展开变形即可 答案 a 12345 2 若k棱柱过侧棱有f k 个对角面 则k 1棱柱过侧棱的对角面的个数f k 1 是 a f k k 1b f k kc f k k 1d f k k 2解析 k 1棱柱比原k棱柱多了一条侧棱 由对角面的定义可知 过不相邻的两条侧棱的面为棱柱的对角面 可得对角面在原来的基础上增加了 k 1 个 因此f k 1 f k k 1 答案 a 12345 时原等式的左边应增加的项数是 答案 2k 12345 4 用数学归纳法证明 n3 5n能被6整除 的过程中 当n k 1时 式子 k 1 3 5 k 1 应变形为 解析 证明当n k 1时 n3 5n能被6整除 一定要用到归纳假设 k3 5k能被6整除 故需将 k 1 3 5 k 1 化成含有k3 5k的形式 即 k 1 3 5 k 1 k