高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线课件 理.ppt

理数课标版 第七节抛物线 1 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 1 在平面内 2 与一个定点f和一条定直线l距离 相等 3 l不经过点f 教材研读 2 抛物线的标准方程与几何性质 1 抛物线y x2的准线方程为 a y 1b y 2c x 1d x 2答案a由y x2得x2 4y 所以抛物线的准线方程为y 1 2 抛物线y 4x2上的一点m到焦点f的距离为1 则点m的纵坐标是 a b c d 0答案b设m x y 且抛物线方程可化为x2 y 则必有 mf y y 1 所以y 3 已知点a 2 3 在抛物线c y2 2px的准线上 记c的焦点为f 则直线af的斜率为 a b 1c d 答案c由点a 2 3 在抛物线c y2 2px的准线上 得焦点f 2 0 kaf 故选c 4 已知ab是抛物线y2 2x的一条焦点弦 ab 4 则ab的中点c的横坐标是 答案解析设a x1 y1 b x2 y2 则 ab x1 x2 p 4 又p 1 所以x1 x2 3 所以点c的横坐标是 5 顶点在原点 对称轴是y轴 并且经过点p 4 2 的抛物线方程是 答案x2 8y解析设抛物线的方程为x2 my 将点p 4 2 代入x2 my 得m 8 所以抛物线方程是x2 8y 考点一抛物线的定义及其应用典例1 1 已知直线l1 4x 3y 6 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 a b 2c d 3 2 设p是抛物线y2 4x上的一个动点 若b 3 2 则 pb pf f为抛物线的焦点 的最小值为 考点突破 答案 1 b 2 4解析 1 由题可知l2 x 1是抛物线y2 4x的准线 设抛物线的焦点为f 则f 1 0 则动点p到l2的距离等于 pf 则动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值 即焦点f到直线l1 4x 3y 6 0的距离 所以最小值是 2 2 如图 过b作bq垂直于准线交准线于点q 交抛物线于点p1 连接p1f 抛物线的准线方程为x 1 则 bq 4 易知 pb pf p1b p1q bq 4 pb pf 的最小值为4 方法技巧与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离 利用 两点之间线段最短 使问题得解 转化策略二 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离 利用 与直线上所有点的连线中垂线段最短 原理解决 1 1已知点p是抛物线y2 2x上的一个动点 则点p到点 0 2 的距离与点p到该抛物线准线的距离之和的最小值为 a b 3c d 答案a抛物线y2 2x的焦点为f 由抛物线的定义知点p到焦点 f的距离等于它到准线的距离 因此要求点p到点 0 2 的距离与点p到抛物线的准线的距离之和的最小值 可以转化为求点p到点 0 2 的距离与点p到焦点f的距离之和的最小值 结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点f到点 0 2 的距离 因此所求的最小值等于 选a 1 2设抛物线x2 12y的焦点为f 经过点p 2 1 的直线l与抛物线相交于a b两点 又知点p恰为ab的中点 则 af bf 答案8解析分别过点a b p作准线的垂线 垂足分别为m n q 根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离 得 af bf am bn 2 pq 8 由p 2 1 及抛物线x2 12y的准线方程为y 3可知 pq 4 考点二抛物线的标准方程及性质典例2 1 2016河南中原名校联考 抛物线y2 2px p 0 的焦点为f o为坐标原点 m为抛物线上一点 且 mf 4 of mfo的面积为4 则抛物线的方程为 a y2 6xb y2 8xc y2 16xd y2 2 2016课标全国 10 5分 以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a b两点 交c的准线于d e两点 已知 ab 4 de 2 则c的焦点到准线的距离为 a 2b 4c 6d 8 答案 1 b 2 b解析 1 设m x y x 0 因为 of mf 4 of 所以 mf 2p 由抛物线 定义知x 2p 所以x p 所以y p 又 mfo的面积为4 所以 p 4 解得p 4 p 4舍去 所以抛物线的方程为y2 8x 2 不妨设c y2 2px p 0 a x1 2 则x1 由题意可知 oa od 得 8 5 解得p 4 故选b 方法技巧 1 求标准方程要先确定形式 必要时要进行分类讨论 标准方程有时可设为y2 mx或x2 my m 0 2 抛物线的标准方程有四种不同的形式 焦点到准线的距离为p 顶点到准线 焦点的距离为 通径长为2p 2 1已知抛物线c与双曲线x2 y2 1有相同的焦点 且顶点在原点 则抛物线c的方程是 a y2 2xb y2 2xc y2 4xd y2 4x答案d因为双曲线的焦点为 0 0 设抛物线方程为y2 2px p 0 则 所以p 2 所以抛物线方程为y2 4x 2 2过抛物线y2 4x的焦点f的直线交该抛物线于a b两点 o为坐标原点 若 af 3 则 aob的面积为 a b c d 2答案c设a x1 y1 b x2 y2 不妨令y1 0 y2 0 如图所示 l为抛物线的准线 过a作ac垂直于直线l 垂足为c 则 af ac x1 1 3 x1 2 y1 2 由题意设直线ab的方程为x 1 ty 由消去x 并整理得y2 4ty 4 0 y1y2 4 y2 s aob 1 y1 y2 故选c 考点三直线与抛物线的位置关系典例3已知曲线c在y轴右边 c上每一点到点f 1 0 的距离减去它到y轴距离的差都是1 1 求曲线c的方程 2 是否存在正数m 对于过点m m 0 且与曲线c有两个交点a b的任一直线 都有 0 化简得y2 4x x 0 2 存在 理由如下 设过点m m 0 m 0 的直线l与曲线c的交点为a x1 y1 b x2 y2 设l的方程为x ty m t r 由得y2 4ty 4m 0 于是 16 t2 m 0 x1 1 y1 x2 1 y2 0 x1 1 x2 1 y1y2 0 x1x2 x1 x2 1 y1y2 0 y1y2 1 0 y1y2 y1 y2 2 2y1y2 1 0 将 代入 并整理得 m2 6m 1 4t2 对于任意实数t 4t2的最小值为0 所以不等式 对于一切实数t成立等价于m2 6m 1 0 解得3 2 m 3 2 由此可知 存在正数m 对于过点m m 0 且与曲线c有两个交点a b的任一直线 都有 0 且m的取值范围是 3 2 3 2 方法技巧 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到一元二次方程的根与系数的关系进行解题 2 有关直线与抛物线相交的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接用公式 ab xa xb p或 ab ya yb p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 弦中点等相关问题时 一般采用 设而不求 整体代入 的解法 提醒 涉及弦的中点 弦所在直线的斜率时一般用 点差法 求解 3 1已知抛物线y2 2px p 0 过点c 2 0 的直线l交抛物线于a b两点 坐标原点为o 12 1 求抛物线的方程 2 当以ab为直径的圆与y轴相切时 求直线l的方程 解析 1 显然直线l的斜率存在 设l x my 2 代入y2 2px中 得y2 2pmy 4p 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 2pm y1y2 4p 则x1x2 4 因为 12 所以x1x2 y1y2 12 即4 4p 12