高三数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理课件 文.ppt

文数课标版 第七节正弦定理和余弦定理 1 正弦定理和余弦定理 教材研读 2 在 abc中 已知a b和a时 解的情况 上表中 若a为锐角 当a bsina时无解 若a为钝角或直角 当a b时无解 3 三角形面积设 abc的角a b c所对的边分别为a b c 其面积为s 1 s ah h为bc边上的高 2 s absinc acsinb bcsina 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 2 在 abc中 若sina sinb 则a b 3 在 abc的六个元素中 已知任意三个元素 可求其他元素 4 当b2 c2 a2 0时 三角形abc为锐角三角形 当b2 c2 a2 0时 三角形abc为直角三角形 当b2 c2 a2 0时 三角形abc为钝角三角形 5 在三角形中 已知两边和一角就能求三角形的面积 1 在 abc中 若a 2 c 4 b 60 则b等于 a 2b 12c 2d 28 答案a由b2 a2 c2 2accosb 得b2 4 16 8 12 所以b 2 2 在 abc中 a 3 b 5 sina 则sinb a b c d 1答案b根据 有 得sinb 故选b 3 2016甘肃兰州一模 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若a b 3 c 2 则a a b c d 答案c易知cosa 又a 0 a 故选c 4 在 abc中 bc 2 ac b 则ab abc的面积是 答案3 解析由余弦定理 得ac2 bc2 ab2 2bc abcos ab 3 负值舍去 s abc ab bc sin 考点一利用正 余弦定理解三角形典例1 1 2016课标全国 4 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知a c 2 cosa 则b a b c 2d 3 2 2016课标全国 9 5分 在 abc中 b bc边上的高等于bc 则sina a b c d 3 2016课标全国 15 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若cosa cosc a 1 则b 答案 1 d 2 d 3 考点突破 sin bac 故选d 3 由cosc 0 c 得sinc 由cosa 0 a 得sina 所以sinb sin a c sin a c sinacosc sinccosa 根据正弦定理得b 规律总结 1 在解有关三角形的题目时 要有意识地考虑用哪个定理更适合 或是两个定理都要用 要抓住能够利用某个定理的信息 一般地 如果式子中含有角的余弦或边的二次式 要考虑用余弦定理 如果式子中含有角的正弦或边的一次式 要考虑用正弦定理 以上特征都不明显时 则要考虑两个定理都有可能用到 2 解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制 考点二利用正 余弦定理判断三角形的形状典例2 2013陕西 9 5分 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若bcosc ccosb asina 则 abc的形状为 a 锐角三角形b 直角三角形c 钝角三角形d 不确定答案b解析由已知及正弦定理得sinbcosc sinccosb sin2a 即sin b c sin2a 又sin b c sina sina 1 a 故选b 方法技巧 1 判断三角形的形状 应从三角形的边 角两方面进行思考 主要看其是不是正三角形 等腰三角形 直角三角形 钝角三角形 锐角三角形 要特别注意 等腰直角三角形 与 等腰三角形或直角三角形 的区别 2 边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理 变式2 1若将本例中的条件 bcosc ccosb asina 改为 2sinacosb sinc 试判断 abc的形状 解析由条件及正弦定理得2acosb c 再由余弦定理得2a c a2 b2 a b 即 abc为等腰三角形 变式2 2若将本例中的条件 bcosc ccosb asina 改为 acosa bcosb 试判断 abc的形状 解析由条件及正弦定理 得sinacosa sinbcosb sin2a sin2b 又a b均为 abc的内角 所以2a 2b或2a 2b 即a b或a b 所以 abc为等腰三角形或直角三角形 变式2 3若将本例中的条件 bcosc ccosb asina 改为 2asina 2b c sinb 2c b sinc 且sinb sinc 1 试判断 abc的形状 解析由条件及正弦定理得2a2 2b c b 2c b c 整理得a2 b2 c2 bc 则cosa sin2a sin2b sin2c sinbsinc 又由sinb sinc 1 可得sin2b sin2c 1 2sinbsinc 由cosa 可得sina 所以sinbsinc 所以sinb sinc 又易知0 b 0 c 故b c 所以 abc是等腰钝角三角形 考点三与三角形面积有关的问题典例3在 abc中 内角a b c的对边长分别为a b c 且 2b c cosa acosc 1 求角a的大小 2 若a 3 b 2c 求 abc的面积 解析 1 由 2b c cosa acosc 得2sinbcosa sinacosc sinccosa 得2sinbcosa sin a c 所以2sinbcosa sinb 因为0 b 所以sinb 0 所以cosa 因为0 a 所以a 2 因为a 3 b 2c 由 1 知a 所以cosa 解得c 所以b 2 所以s abc bcsina 2 规律总结 1 求三角形abc的面积时 常用公式s absinc acsinb bcsina 一般根据已知角具体选择 2 解决与面积有关的问题 一般要用到正弦定理 余弦定理进行边和角的转化 3 1已知 abc是斜三角形 内角a b c所对的边的长分别为a b c 若csina acosc 1 求角c 2 若c 且sinc sin b a 5sin2a 求 abc的面积 解析 1 根据 可得csina asinc 又 csina acosc asinc acosc sinc c