高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.4 平行关系课件 理 北师大版.ppt

8 4平行关系 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直线与平面平行的判定与性质 知识梳理 a a b a b a a a b a a b 2 面面平行的判定与性质 a b a b p a b a b 重要结论 1 垂直于同一条直线的两个平面平行 即若a a 则 2 垂直于同一个平面的两条直线平行 即若a b 则a b 3 平行于同一个平面的两个平面平行 即若 则 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若一条直线平行于一个平面内的一条直线 则这条直线平行于这个平面 2 若一条直线平行于一个平面 则这条直线平行于这个平面内的任一条直线 3 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 4 如果两个平面平行 那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 5 若直线a与平面 内无数条直线平行 则a 6 若 直线a 则a 1 教材改编 下列命题中正确的是a 若a b是两条直线 且a b 那么a平行于经过b的任何平面b 若直线a和平面 满足a 那么a与 内的任何直线平行c 平行于同一条直线的两个平面平行d 若直线a b和平面 满足a b a b 则b 考点自测 答案 解析 a中 a可以在过b的平面内 b中 a与 内的直线可能异面 c中 两平面可相交 d中 由直线与平面平行的判定定理知 b 正确 2 设l m为直线 为平面 且l m 则 l m 是 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 当平面与平面平行时 两个平面内的直线没有交点 故 l m 是 的必要条件 当两个平面内的直线没有交点时 两个平面可以相交 l m 是 的必要不充分条件 3 2016 济南模拟 平面 平面 的一个充分条件是a 存在一条直线a a a b 存在一条直线a a a c 存在两条平行直线a b a b a b d 存在两条异面直线a b a b a b 答案 解析 若 l a l a a 则a a 故排除a 若 l a a l 则a 故排除b 若 l a a l b b l 则a b 故排除c 故选d 4 教材改编 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 e为dd1的中点 则bd1与平面aec的位置关系为 答案 解析 平行 连接bd 设bd ac o 连接eo 在 bdd1中 o为bd的中点 所以eo为 bdd1的中位线 则bd1 eo 而bd1平面ace eo 平面ace 所以bd1 平面ace 5 如图是长方体被一平面所截得的几何体 四边形efgh为截面 则四边形efgh的形状为 答案 解析 平行四边形 平面abfe 平面dcgh 又平面efgh 平面abfe ef 平面efgh 平面dcgh hg ef hg 同理eh fg 四边形efgh的形状是平行四边形 题型分类深度剖析 例1如图 四棱锥p abcd中 ad bc ab bc ad e f h分别为线段ad pc cd的中点 ac与be交于o点 g是线段of上一点 1 求证 ap 平面bef 题型一直线与平面平行的判定与性质 命题点1直线与平面平行的判定 证明 连接ec ad bc bc ad bc綊ae 四边形abce是平行四边形 o为ac的中点 又 f是pc的中点 fo ap fo 平面bef ap平面bef ap 平面bef 2 求证 gh 平面pad 证明 连接fh oh f h分别是pc cd的中点 fh pd fh 平面pad 又 o是be的中点 h是cd的中点 oh ad oh 平面pad 又fh oh h 平面ohf 平面pad 又 gh 平面ohf gh 平面pad 例2 2016 长沙模拟 如图 四棱锥p abcd的底面是边长为8的正方形 四条侧棱长均为2 点g e f h分别是棱pb ab cd pc上共面的四点 平面gefh 平面abcd bc 平面gefh 1 证明 gh ef 命题点2直线与平面平行的性质 证明 因为bc 平面gefh bc 平面pbc 且平面pbc 平面gefh gh 所以gh bc 同理可证ef bc 因此gh ef 2 若eb 2 求四边形gefh的面积 解答 如图 连接ac bd交于点o bd交ef于点k 连接op gk 因为pa pc o是ac的中点 所以po ac 同理可得po bd 又bd ac o 且ac bd都在底面内 所以po 底面abcd 又因为平面gefh 平面abcd 且po平面gefh 所以po 平面gefh 因为平面pbd 平面gefh gk 所以po gk 且gk 底面abcd 从而gk ef 所以gk是梯形gefh的高 由ab 8 eb 2得eb ab kb db 1 4 所以gk 3 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 1 利用线面平行的定义 无公共点 2 利用线面平行的判定定理 b a b a 3 利用面面平行的性质定理 a a 4 利用面面平行的性质 a a a a 跟踪训练1如图所示 cd ab均与平面efgh平行 e f g h分别在bd bc ac ad上 且cd ab 求证 四边形efgh是矩形 证明 cd 平面efgh 而平面efgh 平面bcd ef cd ef 同理hg cd ef hg 同理he gf 四边形efgh为平行四边形 cd ef he ab hef为异面直线cd和ab所成的角或其补角 又 cd ab he ef 平行四边形efgh为矩形 题型二平面与平面平行的判定与性质 例3如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 e f g h分别是ab ac a1b1 a1c1的中点 求证 1 b c h g四点共面 证明 g h分别是a1b1 a1c1的中点 gh是 a1b1c1的中位线 gh b1c1 又 b1c1 bc gh bc b c h g四点共面 2 平面efa1 平面bchg 证明 e f分别是ab ac的中点 ef bc ef平面bchg bc 平面bchg ef 平面bchg a1g綊eb 四边形a1ebg是平行四边形 a1e gb a1e平面bchg gb 平面bchg a1e 平面bchg a1e ef e 平面efa1 平面bchg 引申探究 1 在本例条件下 若d为bc1的中点 求证 hd 平面a1b1ba 证明 如图所示 连接hd a1b d为bc1的中点 h为a1c1的中点 hd a1b 又hd平面a1b1ba a1b 平面a1b1ba hd 平面a1b1ba 2 在本例条件下 若d1 d分别为b1c1 bc的中点 求证 平面a1bd1 平面ac1d 证明 如图所示 连接a1c交ac1于点m 四边形a1acc1是平行四边形 m是a1c的中点 连接md d为bc的中点 a1b dm a1b 平面a1bd1 dm平面a1bd1 dm 平面a1bd1 又由三棱柱的性质知 d1c1綊bd 四边形bdc1d1为平行四边形 dc1 bd1 又dc1平面a1bd1 bd1 平面a1bd1 dc1 平面a1bd1 又 dc1 dm d dc1 dm 平面ac1d 平面a1bd1 平面ac1d 思维升华 证明面面平行的方法 1 面面平行的定义 2 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 3 利用垂直于同一条直线的两个平面平行 4 两个平面同时平行于第三个平面 那么这两个平面平行 5 利用 线线平行 线面平行 面面平行 的相互转化 跟踪训练2 2016 许昌三校第三次考试 如图所示 四边形abcd与四边形adef都为平行四边形 m n g分别是ab ad ef的中点 求证 1 be 平面dmf 证明 如图所示 设df与gn交于点o 连接ae 则ae必过点o 连接mo 则mo为 abe的中位线 所以be mo 因为be平面dmf mo 平面dmf 所以be 平面dmf 2 平面bde 平面mng 证明 因为n g分别为平行四边形adef的边ad ef的中点 所以de gn 因为de平面mng gn 平面mng 所以de 平面mng 因为m为ab的中点 所以mn为 abd的中位线 所以bd mn 因为bd平面mng mn 平面mng 所以bd 平面mng 因为de与bd为平面bde内的两条相交直线 所以平面bde 平面mng 题型三平行关系的综合应用 例4如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 d是棱cc1的中点 问在棱ab上是否存在一点e 使de 平面ab1c1 若存在 请确定点e的位置 若不存在 请说明理由 解答 方法一存在点e 且e为ab的中点时 de 平面ab1c1 下面给出证明 如图 取bb1的中点f 连接df 则df b1c1 ab的中点为e 连接ef ed 则ef ab1 b1c1 ab1 b1 平面def 平面ab1c1 而de 平面def de 平面ab1c1 方法二假设在棱ab上存在点e 使得de 平面ab1c1 如图 取bb1的中点f 连接df ef ed 则df b1c1 又df平面ab1c1 b1c1 平面ab1c1 df 平面ab1c1 又de 平面ab1c1 de df d 平面def 平面ab1c1 ef 平面def ef 平面ab1c1 又 ef 平面abb1 平面abb1 平面ab1c1 ab1 ef ab1 点f是bb1的中点 点e是ab的中点 即当点e是ab的中点时 de 平面ab1c1 思维升华 利用线面平行的性质 可以实现与线线平行的转化 尤其在截面图的画法中 常用来确定交线的位置 对于最值问题 常用函数思想来解决 跟踪训练3如图所示 在四面体abcd中 截面efgh平行于对棱ab和cd 试问截面在什么位置时其截面面积最大 解答 几何画板展示 ab 平面efgh 平面efgh与平面abc和平面abd分别交于fg eh ab fg ab eh fg eh 同理可证ef gh 截面efgh是平行四边形 设ab a cd b fgh 即为异面直线ab和cd所成的角或其补角 x 0 a x 0且x a x a为定值 即当截面efgh的顶点e f g h分别为棱ad ac bc bd的中点时截面面积最大 s efgh fg gh sin 典例 12分 如图 在四棱锥s abcd中 已知底面abcd为直角梯形 其中ad bc bad 90 sa 底面abcd sa ab bc 2 tan sda 1 求四棱锥s abcd的体积 2 在棱sd上找一点e 使ce 平面sab 并证明 立体几何中的探索性问题 答题模板系列5 规范解答 答题模板 解 1 sa 底面abcd tan sda sa 2 ad 3 2分 由题意知四棱锥s abcd的底面为直角梯形 且sa ab bc 2 2 当点e位于棱sd上靠近d的三等分点处时 可使ce 平面sab 8分 证明如下 取sd上靠近d的三等分点为e 取sa上靠近a的三等分点为f 连接ce ef bf bc綊ef ce bf 10分 又 bf 平面sab ce平面sab ce 平面sab 12分 返回 解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步 写出探求的最后结论 第二步 证明探求结论的正确性 第三步 给出明确答案 第四步 反思回顾 查看关键点 易错点和答题规范 返回 课时作业 1 2016 保定模拟 有下列命题 若直线l平行于平面 内的无数条直线 则直线l 若直线a在平面 外 则a 若直线a b b 则a 若直线a b b 则a平行于平面 内的无数条直线 其中真命题的个数是a 1b 2c 3d 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 命题 l可以在平面 内 不正确 命题 直线a与平面 可以是相交关系 不正确 命题 a可以在平面 内 不正确 命题 正确 故选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 滨州模拟 已知m n l1 l2表示直线 表示平面 若m n l1 l2 l1 l2 m 则 的一个充分条件是a m 且l1 b m 且n c m 且n l2d m l1且n l2 答案 解析 由定理 如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行 那么这两个平面平行 可得 由选项d可推知 故选d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 对于空间中的两条直线m n和一个平面 下列命题中的真命题是a 若m n 则m nb 若m n 则m nc 若m n 则m nd 若m n 则m n 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对a 直线m n可能平行 异面或相交 故a错误 对b 直线m与n可能平行 也可能异面 故b错误 对c m与n垂直而非平行 故c错误 对d 垂直于同一平面的两直线平行 故d正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 如图 l m n分别为正方体对应棱的中点 则平面lmn与平面pqr的位置关系是a 垂直b 相交不垂直c 平行d 重合 答案 解析 如图 分别取另三条棱的中点a b c 将平面lmn延展为平面正六边形ambncl 因为pq al pr am 且pq与pr相交 al与am相交 所以平面pqr 平面ambncl 即平面lmn 平面pqr 5 2016 全国甲卷 是两个平面 m n是两条直线 有下列四个命题 如果m n m n 那么 如果m n 那么m n 如果 m 那么m 如果m n 那么m与 所成的角和n与 所成的角相等 其中正确的命题有 填写所有正确命题的编号 答案 解析 当m n m n 时 两个平面的位置关系不确定 故 错误 经判断知 均正确 故正确答案为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 设 是三个不同的平面 m n是两条不同的直线 在命题 m n 且 则m n 中的横线处填入下列三组条件中的一组 使该命题为真命题 n m n n m 可以填入的条件有 答案 解析 或 由面面平行的性质定理可知 正确 当n m 时 n和m在同一平面内 且没有公共点 所以平行 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 o是底面abcd的中心 p是dd1的中点 设q是cc1上的点 则点q满足条件 时 有平面d1bq 平面pao 答案 解析 q为cc1的中点 假设q为cc1的中点 因为p为dd1的中点 所以qb pa 连接db 因为o是底面abcd的中心 所以d1b po 又d1b平面pao qb平面pao 且pa po于p 所以d1b 平面pao qb 平面pao 又d1b qb于b 所以平面d1bq 平面pao 故q为cc1的中点时 有平面d1bq 平面pao 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 将一个真命题中的 平面 换成 直线 直线 换成 平面 后仍是真命题 则该命题称为 可换命题 给出下列四个命题 垂直于同一平面的两直线平行 垂直于同一平面的两平面平行 平行于同一直线的两直线平行 平行于同一平面的两直线平行 其中是 可换命题 的是 填命题的序号 答案 解析 由线面垂直的性质定理可知 是真命题 且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题 故 是 可换命题 因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交 所以 是假命题 不是 可换命题 由公理4可知 是真命题 且平行于同一平面的两平面平行也是真命题 故 是 可换命题 因为平行于同一平面的两条直线可能平行 相交或异面 故 是假命题 故 不是 可换命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 如图 空间四边形abcd的两条对棱ac bd的长分别为5和4 则平行于两条对棱的截面四边形efgh在平移过程中 周长的取值范围是 答案 解析 8 10 gh 5k eh 4 1 k 周长 8 2k 又 0 k 1 周长的取值范围为 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 在三棱锥s abc中 abc是边长为6的正三角形 sa sb sc 15 平面defh分别与ab bc sc sa交于点d e f h d e分别是ab bc的中点 如果直线sb 平面defh 那么四边形defh的面积为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图 取ac的中点g 连接sg bg 易知sg ac bg ac sg bg g 故ac 平面sgb 所以ac sb 因为sb 平面defh sb 平面sab 平面sab 平面defh hd 则sb hd 同理sb fe 又d e分别为ab bc的中点 则h f也为as sc的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以四边形defh为平行四边形 又ac sb sb hd de ac 所以de hd 所以四边形defh为矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 如图 e f g h分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱bc cc1 c1d1 aa1的中点 求证 1 eg 平面bb1d1d 证明 取b1d1的中点o 连接go ob 易证四边形bego为平行四边形 故ob eg 由线面平行的判定定理即可证eg 平面bb1d1d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 平面bdf 平面b1d1h 证明 由题意可知bd b1d1 如图 连接hb d1f 易证四