高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第三节 圆的方程课件 文.ppt

文数课标版 第三节圆的方程 1 圆的定义在平面内 到 定点的距离等于 定长的点的 集合叫做圆 教材研读 2 确定一个圆最基本的要素是 圆心和 半径 3 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中 a b 为圆心 r为半径 5 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法 大致步骤如下 1 根据题意 选择标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 3 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 6 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种 圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 点为 x0 y0 1 点在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 2 点在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 已知点a x1 y1 b x2 y2 则以ab为直径的圆的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 2 方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的充要条件是a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 3 方程x2 2ax y2 0一定表示圆 4 x 2 2 y 1 2 a2 a 0 表示以 2 1 为圆心 a为半径的圆 5 圆x2 2x y2 y 0的圆心是 6 若点m x0 y0 在圆x2 y2 dx ey f 0外 则 dx0 ey0 f 0 1 圆心坐标为 1 1 且过原点的圆的方程是 a x 1 2 y 1 2 1b x 1 2 y 1 2 1c x 1 2 y 1 2 2d x 1 2 y 1 2 2答案d由题意得圆的半径为 故该圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 故选d 2 圆x2 y2 4x 6y 0的圆心坐标是 a 2 3 b 2 3 c 2 3 d 2 3 答案d圆的方程可化为 x 2 2 y 3 2 13 所以圆心坐标是 2 3 3 点 2a a 1 在圆x2 y 1 2 5的内部 则a的取值范围是 a 1 a 1b 0 a 1c 1 a d a 1答案d由 2a 2 a 2 2 5得 a 1 4 已知点a 1 b 1 则以线段ab为直径的圆的方程是 a x2 y2 2b x2 y2 c x2 y2 1d x2 y2 4答案dab的中点坐标为 0 0 由题意知 ab的中点为圆心 ab 4 圆的方程为x2 y2 4 5 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 答案解析方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0可化为 y a 2 a2 a 1 因为该方程表示圆 所以 a2 a 1 0 即3a2 4a 4 0 所以 2 a 考点一求圆的方程典例1 1 2015课标 7 5分 过三点a 1 3 b 4 2 c 1 7 的圆交y轴于m n两点 则 mn a 2b 8c 4d 10 2 圆心在直线y x 1上 且与直线x y 2 0相切于点 1 1 的圆的方程为 答案 1 c 2 考点突破 解析 1 设圆心为p a b 由点a 1 3 c 1 7 在圆上 知b 2 再由 pa pb 得a 1 则p 1 2 pa 5 于是圆p的方程为 x 1 2 y 2 2 25 令x 0 得y 2 2 则 mn 2 2 2 2 4 2 解法一 几何法 因为圆心在过点 1 1 且与切线垂直的直线上 所以圆心在直线y 1 x 1 即x y 0上 又已知圆心在直线y x 1上 故联立解得故圆心坐标是 所以半径r 故所求圆的方程为 解法二 待定系数法 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 则解得所以r 故所求圆的方程为 1 求圆的方程的两种方法 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择设圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 方法指导 2 确定圆心位置的方法 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上 3 两圆相切时 切点与两圆圆心共线 1 1若圆c的半径为1 圆心在第一象限 且与直线4x 3y 0和x轴都相切 则该圆的标准方程是 a x 2 2 y 1 2 1b x 2 2 y 1 2 1c x 2 2 y 1 2 1d x 3 2 y 1 2 1答案a由于圆c的半径为1 圆心在第一象限且与x轴相切 故设圆心为 a 1 a 0 又由圆与直线4x 3y 0相切可得 1 解得a 2 舍负 故圆的标准方程为 x 2 2 y 1 2 1 1 2求经过点a 5 2 b 3 2 且圆心在直线2x y 3 0上的圆的方程 解析解法一 圆过a 5 2 b 3 2 两点 圆心一定在线段ab的垂直平分线上 易知线段ab的垂直平分线的方程为y x 4 设所求圆的圆心坐标为c a b 则有解得 c 2 1 r ca 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 解法二 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 则解得 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 解法三 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 则解得d 4 e 2 f 5 所求圆的方程为x2 y2 4x 2y 5 0 考点二与圆有关的最值问题典例2 1 已知点a 1 0 b 0 2 点p是圆 x 1 2 y2 1上任意一点 则 pab面积的最大值与最小值分别是 a 2 4 b 4 4 c 4 d 2 2 2 若实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 则的最大值为 最小值为 答案 1 b 2 解析 1 由题意知 ab lab 2x y 2 0 由题易知圆心坐标为 1 0 圆心到直线lab的距离d s pab的最大值为 4 s pab的最小值为 4 2 原方程可化为 x 2 2 y2 3 表示点p 1 0 与圆 x 2 2 y2 3上的点 x y 的连线的斜率 如图 由图知的最大值和最小值分别是过p与圆相切的直线pa pb的斜 率 易知 pb pa kpa kpb 的最大值为 最小值为 方法技巧1 与圆的几何性质有关的最值 1 记o为圆心 圆外一点a到圆上距离的最小值为 ao r 最大值为 ao r 2 过圆内一点的弦最长的为圆的直径 最短的为以该点为中点的弦 3 记圆心到直线的距离为d 若直线与圆相离 则圆上点到直线的最大距离为d r 最小距离为d r 4 过两定点的所有圆中 面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆 2 与圆上点 x y 有关的最值 1 形如形式的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如t ax by形式的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 也可用三角代换求解 3 形如 x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点距离的平方的最值问题 变式2 1在本例 2 的条件下 求y x的最大值和最小值 解析y x可看作是直线y x b在y轴上的截距 当直线y x b与圆相切时 纵截距b取得最大值或最小值 此时 解得b 2 所以y x的最大值为 2 最小值为 2 变式2 2在本例 2 的条件下 求x2 y2的最大值和最小值 解析x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 过原点和圆心的直线与圆有两个交点 在两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为 2 所以x2 y2的最大值是 2 2 7 4 x2 y2的最小值是 2 2 7 4 考点三与圆有关的轨迹问题典例3已知a 2 0 为圆x2 y2 4上一定点 b 1 1 为圆内一点 p q为圆上的动点 1 求线段ap中点的轨迹方程 p与a不重合 2 若 pbq 90 求线段pq中点的轨迹方程 解析 1 设ap的中点为m x y 由中点坐标公式可知 p点坐标为 2x 2 2y 因为p点在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段ap中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 x 2 2 设pq的中点为n x y 在rt pbq中 pn bn 设o为坐标原点 连接on 则on pq 所以 op 2 on 2 pn 2 on 2 bn 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段pq中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 方法技巧求与圆有关的轨迹问题时 根据题设条件的不同采用以下方法 1 直接法 直接根据题设给定的条件列出方程 2 定义法 根据圆的定义列方程 3 几何法 利用圆的几何性质列方程 4 代入法 找出要求的点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式 3 1已知定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 点o是坐标