高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 9 二次函数、幂函数课件 文.ppt

第二章函数与基本初等函数 第9课二次函数 幂函数 课前热身 1 必修1p54测试7改编 函数f x x2 2x 3 x 0 2 的值域为 解析 由f x x 1 2 4 知f x 在 0 2 上单调递增 所以f x 的值域是 3 5 激活思维 3 5 2 必修1p47习题9改编 若函数y x2 a 2 x 3 x a b 的图象关于直线x 1对称 则b 6 r 5 必修1p73练习3改编 已知幂函数y m2 5m 7 xm2 6在 0 上单调递增 那么实数m 3 1 二次函数的三种表示方法 1 一般式 2 两点式 3 顶点式 2 二次函数f x ax2 bx c a 0 图象的 是处理二次函数问题的重要依据 知识梳理 y ax2 bx c a 0 y a x x1 x x2 a 0 y a x x0 2 n a 0 对称轴 顶点坐标 开口方向 3 一元二次方程根的分布问题二次函数对应的一元二次方程的实数根的分布问题是一个比较复杂的问题 给定一元二次方程f x ax2 bx c 0 a 0 1 若f x 0在 m n m n 内有且只有一个实数根 则需满足 f m f n 0或f m 0 另一根在 m n 内或f n 0 另一根在 m n 内 2 若f x 0在 m n m n 内有两个实数根 则需满足 3 设x1 x2为方程f x 0的两个实数根 若x1 m x2 则f m 0 若m x1 n p x2 q 则需满足 4 若方程f x 0的两个实数根中一根小于m 另一根大于n m n 则需满足 5 若一元二次方程f x 0的两个实数根都大于r 则需满足 1 幂函数在 上都有定义 2 幂函数的图象都过点 3 当 0时 幂函数的图象都过点 与 且在 0 上单调 4 当 0时 幂函数的图象都 点 0 0 且在 0 上单调 0 1 1 0 0 1 1 递增 不过 递减 5 五种幂函数的比较 1 图象比较 2 性质比较 0 x x 0 0 0 y y 0 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 增 递增 递减 增 增 递减 递减 1 1 课堂导学 求下列幂函数的定义域 并指出其奇偶性 单调性 幂函数的图象与性质 例1 思维引导 求幂函数的定义域 首先将分数指数幂写成根式 再确定定义域 判断函数奇偶性 单调性的方法 一般用定义法 精要点评 熟练进行分数指数幂与根式的互化 是研究幂函数性质的基础 在函数解析式中含有分数指数幂时 可以把它们的解析式化成根式 根据 偶次根号下非负 这一条件来求出对应函数的定义域 当函数解析式的幂指数为负数时 根据负指数幂的意义将其转化为分式形式 根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域 求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组 变式 精要点评 幂函数y x 的图象与性质由于 的值不同而比较复杂 一般从两个方面考查 1 的正负 0时 图象过原点和 1 1 在第一象限的图象上升 1时 曲线下凹 0 1时 曲线上凸 0时 曲线下凹 已知二次函数f x 的二次项系数为a 且不等式f x 2x的解集为 1 3 1 若方程f x 6a 0有两个相等的实数根 求函数f x 的解析式 2 若f x 的最大值为正数 求实数a的取值范围 思维引导 由不等式f x 2x的解集为 1 3 可先把f x 表示出来 再利用方程f x 6a 0有两个相等的实数根 求出a 从而求出f x 的解析式 最后把其最大值表示出来 求a的取值范围 求二次函数的解析式 例2 解答 1 因为f x 2x 0的解集为 1 3 所以f x 2x a x 1 x 3 且a 0 于是f x a x 1 x 3 2x ax2 2 4a x 3a 由方程f x 6a 0 得ax2 2 4a x 9a 0 因为方程 有两个相等的实数根 所以 2 4a 2 4a 9a 0 精要点评 二次函数 一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系 一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根 也就是二次函数与x轴的交点 因而在解题时要充分利用它们之间的关系 2015 栟茶中学 已知二次函数f x ax2 bx c图象的顶点为 1 10 且方程ax2 bx c 0的两根的平方和为12 求二次函数f x 的解析式 变式 1 求函数y x2 2x 5在区间 1 2 上的最大值和最小值 2 已知函数f x x2 ax 3在区间 1 1 上的最小值m为 3 求实数a的值 3 已知函数f x x2 ax 3 a 若x 2 2 时 f x 0恒成立 求实数a的取值范围 二次函数的图象和性质 最值 详见p39微探究3 例3 解答 1 y f x x2 2x 5 x 1 2 4 因为1 1 2 所以ymin f 1 4 又因为f 1 8 f 2 5 所以ymax f 1 8 故函数y x2 2x 5在区间 1 2 上的最小值为4 最大值为8 精要点评 求二次函数在闭区间上的最值的方法 一看开口方向 二看对称轴与区间的相对位置 简称 两看法 只需作出二次函数相关部分的简图 利用数形结合法就可以得到问题的解 运用这个方法 同样可以解决对称轴确定而区间变化的问题 甚至开口方向 对称轴 区间同时都在变化的问题 若开口向上 当对称轴在给定区间的左侧时 它是增函数 它的最值点在区间的两个端点处取得 当对称轴在给定区间的右侧时 它是减函数 它的最值点在区间的两个端点处取得 当对称轴在给定区间内时 在对称轴处取得一个最值 在离对称轴较远处取得另一最值 二次函数在闭区间上的最值问题 只有反复地训练 才能真正掌握利用简单原理解决复杂问题的本领 2016 皖北模拟 已知函数f x x2 2ax 1 a在区间 0 1 上的最大值为2 求实数a的值 变式 当a 1时 函数f x x2 2ax 1 a在区间 0 1 是增函数 所以f x max f 1 1 2a 1 a 2 所以a 2 综上 a 1或a 2 设a为实数 函数f x x2 x a 1 x r 求f x 的最小值 备用例题 此时f x 的最小值为f a a2 1 课堂评价 1 若二次函数y ax2 bx c的图象与x轴交于a 2 0 b 4 0 两点 且函数的最大值为9 则这个二次函数的表达式是 解析 由题意设二次函数表达式为y a x 2 x 4 a 0 对称轴为直线x 1 当x 1时 ymax 9a 9 所以a 1 所以y x 2 x 4 x2 2x 8 y x2 2x 8 2 若二次函数f x ax2 2ax 1在 3 2 上的最大值为4 则实数a的值为 1 1 4 已知a r 函数f x x2 2ax 5 1 若不等式f x 0对任意的x 0 恒成立 求实数a的取值范围 2 若a 1 且函数f x 的定义域和值域均为 1 a 求实数a的值 2 因为f x x2 2ax 5的图象的对称轴为x a a 1 所以f x 在 1 a 上为减函数 所以f x 的值域为 f a f 1 又因为f x 的值域为 1 a 微探究3二次函数的图象和性质 最值 问题提出二次函数的图象与性质的重要应用是求函数的最值 那么利用二次函数的性质求函数的最大 小 值的解题模板是怎样的呢 典型示例函数f x 2x2 2ax 3在区间 1 1 上的最小值记为g a 1 求g a 的函数解析式 2 求g a 的最大值 思维导图 2 当a2时 由 1 知g a 1 综合 可得g a max 3 精要点评 1 利用二次函数的性质求函数的最大 小 值 一定要结合图形来分析在何处取得最值 当题目中含有参数时 要根据对称轴与区间的位置关系分类讨论 2 利用图象求函数的最大 小 值 3 利用函数单调性判断函数的最大 小 值 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递增 在区间 b c 上单调递减 则函数y f x 在x b处有最大值f b 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递减 在区间 b c 上单调递增 则函数y f x 在x b处有最小值f b 总结归纳二次函数在某区间上的最值 或值域 的求法要熟练掌握 特别是含参数的两类问题 定轴动区间 定区间动轴 的解法 抓住 三点一轴 数形结合 三点指的是区间两个端点和区间中点 一轴指的是对称轴 题组强化1 函数y 3 2x x2 0 x 3 的最小值为 解析 因为y 3 2x x2 x 1 2 4 所以函数在 0 1 上单调递增 在 1 3 上单调递减 所以y 3 2x x2 0 x 3 的最小值为y 3 2 3 32 0 0 2 已知函数f x x2 2a 1 x 3 若函数f x 在 1 3 上的最大值为1 则实数a 3 已知函数f x x2 4x 4在闭区间 t t 1 t r 上的最小值为g t 1 求g t 的解析式 2 作出