高三数学 知识点精析精练30 数列.doc

2014高三数学知识点精析精练30：数列数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。一、数列的基础知识【例1】 已知数列an的前n项和sn=n22n+3,求数列an的通项an，并判断数列an是否为等差数列。解：由已知：sn=n22n+3，所以，sn1=(n1)22(n1)+3=n24n+6,两式相减，得：an=2n3(n2),而当n=1时,a1=s1=2,所以an=.又a2a1a3a2，故数列an不是等差数列。注意：一般地，数列an是等差数列sn=an2+bnsn.数列an是等比数列sn=aqna.【例2】 已知数列an的前n项的和sn=,求证：数列an是等差数列。证明：因为sn=，所以，两式相减，得：，所以，即：，同理：，即：，两式相加，得：，即：，所以数列an是等差数列。【例3】 已知数列an的前n项的和sn+ an=2n+1,求数列an的通项an.解：因为sn+ an=2n+1，所以， sn+1+an+1=2(n+1)+1,两式相减，得：2an+1an=2,即：2an+1an+2=4，2an+14= an2，所以，而s1+a1=3，a1=，故a12=，即：数列an是以为首项，为公比的等比数列，所以 an2=()n1= ()n,从而an=2 ()n。【例4】 （2000年全国）设an是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,),则它的通项公式是an= .分析：（1）作为填空题，不需要解题步骤，所以可以采用不完全归纳法。令n=1，得：2a22+a21=0,解得，a2=.令n=2, 得：3a32+a3=0, 解得，a3=.同理，a4=由此猜想：an=.(2)由(n+1)an+12nan2+an+1an=0，得：(n+1)an+1nan(an+1+an)=0, 所以(n+1)an+1=nan，这说明数列是常数数列，故nan=1，an=.也可以由(n+1)an+1=nan，得：，所以。【例5】 求下列各项的和(1).(2)1+221+322+423+n2n1.(3)12+23+34+n(n+1).(4).解：（1）设 sn=,则 sn=,两式相加，得：2sn= (n+2)=(n+2)()=(n+2)2n,所以sn=(n+2)2n1.思考：又如何求呢？（2）设sn=1+221+322+423+n2n1，则 2 sn= 12+222+323+（n1）2n1+n2n.两式相减。得： sn=1+21+22+2 n1n2 n =2n(1n)1.sn=2n(n1)+1.(3)12+23+34+n(n+1)=(12+1)+(22+2)+(32+3)+ +(n2+n)=(12+22+32+ +n2)+(1+2+3+ +n)=.(4) =.二、等差数列与等比数列【例6】 设数列an是公差不为零的等差数列，sn是数列an的前n项和，且9s2，s44s2，求数列的通项公式解：设数列的公差为由题意得：，解得 或 因为 所以 【例7】 已知数列的前项和满足（1） 写出数列的前三项；（2） 求证数列为等比数列，并求出的通项公式解：（1）在中分别令 得： 解得：（2）由得：两式相减得：即：故数列是以为首项，公比为2的等比数列所以 【例8】 已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：（1）求通项；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；解：（1）设数列的公差为由题意得： 或 （舍去）所以：（2）由于 是一等差数列 故对一切自然数都成立即： 或 （舍去）所以【例9】 数列an的前n项和记为sn，已知a1=1,an+1=sn(n=1,2,3，)证明：(i)数列是等比数列；(ii)sn+1=4an.解：（1）由 得： 即所以 所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列（2）由（1）得 所以 所以 【例10】 已知等差数列an，公差大于0，且a2、a5是方程x212x+27=0的两个根，数列bn的前n 项和为tn，且tn=1（1）求数列an、bn的通项公式；（2）记cn= anbn，求证：解：（1）设的公差为由题意得： 即： 解得：所以：由 得：两式相减： 即：所以是以为公比为首项的等比数列在中令得： 所以所以（2）所以：因为了 所以 【例11】 设是由正数组成的无穷数列，sn是它的前n项之和，对任意自然数与2的等差中项等于sn与2的等比中项. （1）写出；（2）求数列的通项公式（要有推论过程）；解：（1）由题意得：令得：解得：（2）将两边平方得：用代替得：两式相减得：即：即： 由于 所以所以是以2为首项公差为4的等差数列所以【例12】 已知数列成等差数列，表示它的前项和，且，.求数列的通项公式；数列中，从第几项开始(含此项)以后各项均为负数？解：（1）设数列的公差为，由题意得：解得：所以： （2）令 所以 解不等式 得：所以数列从第8项开始（含此项）以后各项均为负数【例13】 设数列an和bn满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列an+1an （nn*）是等差数列，数列bn2(nn*)是等比数列. （1）求数列an和bn的通项公式； （2）是否存在kn*，使akbk（0，）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.解：（1）由题意得： =所以 （）上式对也成立所以 所以 （2）当 时 当时 故不存在正整数使【例14】 设等差数列的前n项和为；设，问是否可能为一与n无关的常数？若不存在，说明理由若存在，求出所有这样的数列的通项公式解：设等差数列的公差为，并假设存在使是与无关的常数令所以恒成立化简得：对一切自然数恒成立所以 即 解得： 解得：故存在等差数列使是一与无关的常数【例15】 已知等比数列及等差数列，其中，公差，将这两个数列对应项相加得到一个新的数列1,1,2,求这个新数列的前10项之和解：设等比数列的公比为由题意得： 解得：所以所以新数列的前10项的和为【例16】 设sn为等差数列an的前n项和.(nn*)（）若数列an单调递增，且a2是a1、a5的等比中项，证明：（）设an的首项为a1，公差为d，且，问是否存在正常数c，使对任意自然数n都成立，若存在，求出c(用d表示)；若不存在，说明理由.解：（1）设等差数列的公差为由题意得： 即： 解得：所以 所以 所以 （2）假设存在正常数使得恒成立 令，则有恒成立即：化简得：两边平方化简得：以下证明当时，恒成立故存在正常数，使恒成立三、数列综合问题对于综合问题，要注意与其他数学知识相联系，如函数、方程、不等式，还要注意数学思想方法的应用，如归纳法、类比、叠加等。【例17】 已知等差数列an的前n项的和为sn，令bn=，且b4=，s6s3=15,求数列bn的通项公式和的值。分析：欲求bn，需先求sn，而sn是数列an的前n项的和，所以应首先求出an。因为数列an是等差数列，故只要能找到关于a1与d的两个方程即可。解：设数列的首项为a1，公差为d.由已知得：，解得：。所以an=n,从而sn=,故bn=。=2【例18】 已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn，且a1,a2,a3,an组成等差数列（n为正偶数），又f(1)=n2,f(1)=n；（1）求数列an的通项an；（2）试比较f(0.5)与3的大小，并说明理由。分析：显然，只要能把f(1)=n2,f(1)=n转化为关于