广东省中考数学总复习 第一部分 教材梳理 第二章 方程与不等式 第3节 一元二次方程课件.ppt

第一部分教材梳理 第3节一元二次方程 第二章方程与不等式 知识梳理 概念定理 1 一元二次方程 1 定义 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是2的整式方程 叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式 ax2 bx c 0 a 0 它的特征是 等式左边为一个关于未知数x的二次多项式 等式右边是零 其中ax2叫做二次项 a叫做二次项系数 bx叫做一次项 b叫做一次项系数 c叫做常数项 2 一元二次方程的解法 1 直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法 叫做直接开平方法 直接开平方法适用于解形如 x a 2 b的一元二次方程 根据平方根的定义可知 x a是b的平方根 当b 0时 x a b x a b 当b 0时 方程没有实数根 2 配方法配方法的理论根据是完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 把公式中的a看作未知数x 并用x代替 则有x2 2bx b2 x b 2 配方法的步骤 先把常数项移到方程的右边 再把二次项的系数化为1 再同时加上一次项系数的一半的平方 最后配成完全平方公式 3 公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法 它是解一元二次方程的一般方法 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的求根公式为 公式法的步骤 把一元二次方程的各系数分别代入求根公式 然后计算得出结果即可 这里二次项的系数为a 一次项的系数为b 常数项的系数为c 4 因式分解法因式分解法就是利用因式分解的思想 使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式 再使这两个一次式分别等于0 从而求出方程的解的方法 它是解一元二次方程最常用的方法 主要公式 1 根的判别式 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 中 b2 4ac叫做一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式 通常用 来表示 即 b2 4ac i 当 0时 一元二次方程有2个不相等的实数根 ii 当 0时 一元二次方程有2个相等的实数根 iii 当 0时 一元二次方程没有实数根 2 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的求根公式 方法规律 公式法和因式分解法的运用技巧 1 在解一元二次方程时 最常用到的方法是公式法和因式分解法 公式法适用于任何一元二次方程 有人称之为万能法 在使用公式法时 一定要把原方程化成一般形式 以便确定系数 而且在用公式前应先计算根的判别式的值 以便判断方程是否有解 2 在运用因式分解法时 一般要先将方程写成一般形式 同时应使二次项系数化为正数 中考考点精讲精练 考点1解一元二次方程 考点精讲 例1 2015广东 解方程 x2 3x 2 0 思路点拨 利用公式法来求解即可 解 用公式法 已知a 1 b 3 c 2 b2 4ac 3 2 4 1 2 1 解得x1 1 x2 2 考题再现1 2016天津 方程x2 x 12 0的两个根为 a x1 2 x2 6b x1 6 x2 2c x1 3 x2 4d x1 4 x2 32 2014珠海 填空 x2 4x 3 x 2 1 3 2016山西 解方程 2 x 3 2 x2 9 d 2 解 方程变形 得2 x 3 2 x 3 x 3 0 分解因式 得 x 3 2x 6 x 3 0 解得x1 3 x2 9 考点演练4 已知关于x的一元二次方程x2 x c 0有一个解为x 1 则c的值为 a 2b 0c 1d 25 方程4x2 kx 6 0的一个根是2 那么k的值和方程的另一个根分别是 a 5 34b 11 34c 11 34d 5 34 a b 6 解下列方程 1 x x 3 x 3 2 2x2 3x 4 0 解 1 原方程变形 得x x 3 x 3 0 分解因式 得 x 3 x 1 0 解得x1 3 x2 1 2 用公式法 已知a 2 b 3 c 4 b2 4ac 3 2 4 2 4 41 考点点拨 本考点是广东中考的次高频考点 题型一般为选择题和解答题 难度中等 解答本考点的有关题目 关键在于掌握解一元二次方程的方法和步骤 注意以下要点 1 解一元二次方程的基本思路是降次 解法包括直接开平方法 配方法 公式法和因式分解法四种 2 公式法和因式分解法是最常用的两种方法 重点在于掌握求根公式和因式分解的方法 考点2一元二次方程根的判别式与根的情况 考点精讲 例2 2016北京 关于x的一元二次方程x2 2m 1 x m2 1 0有两个不相等的实数根 1 求m的取值范围 2 写出一个满足条件的m的值 并求此时方程的根 思路点拨 1 由方程有两个不相等的实数根即可得出 0 代入数据即可得出关于m的不等式 解不等式即可得出结论 2 结合 1 中结论 令m 1 将m 1代入原方程 利用因式分解法解方程即可得出结论 解 1 关于x的一元二次方程x2 2m 1 x m2 1 0有两个不相等的实数根 2m 1 2 4 1 m2 1 4m 5 0 2 令m 1 此时原方程化为x2 3x 0 即x x 3 0 解得x1 0 x2 3 考题再现1 2015广东 若关于x的方程x2 x a 0有两个不相等的实数根 则实数a的取值范围是 a a 2b a 2c a 2d a 22 2014广东 关于x的一元二次方程x2 3x m 0有两个不相等的实数根 则实数m的取值范围为 c b 3 2015珠海 一元二次方程x2 x 0的根的情况是 a 有两个不相等的实数根b 有两个相等的实数根c 无实数根d 无法确定根的情况4 2016梅州 关于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0有两个不等实根x1 x2 求实数k的取值范围 解 1 原方程有两个不相等的实数根 2k 1 2 4 k2 1 0 解得k 即实数k的取值范围是k b 5 2015梅州 已知关于x的方程x2 2x a 2 0 1 若该方程有两个不相等的实数根 求实数a的取值范围 2 当该方程的一个根为1时 求a的值及方程的另一根 解 1 22 4 1 a 2 12 4a 0 解得a 3 a的取值范围是a 3 2 将x 1代入原方程 得1 2 a 2 0 a 1 原方程化为x2 2x 3 0 解该方程 得x1 1 x2 3 方程的另一根为 3 考点演练6 已知关于x的一元二次方程mx2 2x 1 0有两个不相等的实数根 则m的取值范围是 a m 1b m 1c m 1且m 0d m 1且m 07 若关于x的方程x2 2x a 0不存在实数根 则a的取值范围是 a a 1b a 1c a 1d a 1 d b 8 已知关于x的方程x2 2x 3k 0有两个不相等的实数根 则k的取值范围是 9 若关于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0有实数根 则k的取值范围是 a d 考点点拨 本考点是广东中考的高频考点 题型一般为选择题 难度较低 解答本考点的有关题目 关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系 注意以下要点 1 判别式 0方程有两个不相等的实数根 2 判别式 0方程有两个相等的实数根 3 判别式 0方程没有实数根 考点3一元二次方程的应用 考点精讲 例3 2016永州 某种商品的标价为400元 件 经过两次降价后的价格为324元 件 并且两次降价的百分率相同 1 求该种商品每次降价的百分率 2 若该种商品进价为300元 件 两次降价共售出此种商品100件 为使两次降价销售的总利润不少于3210元 问第一次降价后至少要售出该种商品多少件 思路点拨 1 设该种商品每次降价的百分率为x 根据 两次降价后的售价 原价 1 降价百分比 2 即可得出关于x的一元二次方程 解方程即可得出结论 2 设第一次降价后售出该种商品m件 则第二次降价后售出该种商品 100 m 件 根据 总利润 第一次降价后的单件利润 销售数量 第二次降价后的单件利润 销售数量 即可得出关于m的一元一次不等式 解不等式即可得出结论 解 1 设该种商品每次降价的百分率为x 依题意 得400 1 x 2 324 解得x 0 1 10 或x 1 9 不合题意 舍去 答 该种商品每次降价的百分率为10 2 设第一次降价后售出该种商品m件 则第二次降价后售出该种商品 100 m 件 第一次降价后的单件利润为 400 1 10 300 60 元 件 第二次降价后的单件利润为 324 300 24 元 件 依题意 得60m 24 100 m 36m 2400 3210 解得m 22 5 m 23 答 为使两次降价销售的总利润不少于3210元 第一次降价后至少要售出该种商品23件 考题再现1 2015佛山 如图1 2 3 1 将一块正方形空地划出部分区域进行绿化 原空地一边减少了2m 另一边减少了3m 剩余一块面积为20m2的矩形空地 则原正方形空地的边长是 a 7mb 8mc 9md 10m2 2016梅州 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形 设矩形的一边长为xcm 则可列方程为 a x 20 x 64 3 2015珠海 白溪镇2012年有绿地面积57 5公顷 该镇近几年不断增加绿地面积 2014年达到82 8公顷 1 求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率 2 若年增长率保持不变 2015年该镇绿地面积能否达到100公顷 解 1 设绿地面积的年平均增长率为x 根据题意 得57 5 1 x 2 82 8 解得x1 0 2 20 x2 2 2 不合题意 舍去 答 该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率为20 2 由题意 得82 8 1 0 2 99 36 公顷 2015年不能达到100公顷 答 2015年该镇绿地面积不能达到100公顷 4 2015广州 某地区2013年投入教育经费2500万元 2015年投入教育经费3025万元 1 求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率 2 根据 1 所得的年平均增长率 预计2016年该地区将投入教育经费多少万元 解 1 设增长率为x 根据题意 得2500 1 x 2 3025 解得x1 0 1 10 x2 2 1 不合题意 舍去 答 2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率为10 2 3025 1 10 3327 5 万元 答 预计2016年该地区将投入教育经费3327 5万元 5 2016贵州 为进一步发展基础教育 自2014年以来 某县加大了教育经费的投入 2014年该县投入教育经费6000万元 2016年投入教育经费8640万元 假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同 1 求这两年该县投入教育经费的年平均增长率 2 若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率 请你预计2017年该县投入教育经费多少万元 解 1 设该县投入教育经费的年平均增长率为x 根据题意 得6000 1 x 2 8640 解得x1 0 2 20 x2 2 2 不合题意 舍去 答 该县投入教育经费的年平均增长率为20 2 因为2016年该县投入教育经费为8640万元 且增长率为20 所以2017年该县投入教育经费为 y 8640 1 0 2 10368 万元 答 预计2017年该县投入教育经费10368万元 考点演练6 如图1 2 3 2 一农户要建一个矩形猪舍 猪舍的一边利用长为12m的住房墙 另外三边用25m长的建筑材料围成 为方便进出 在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门 所围矩形猪舍的长 宽分别为多少时 猪舍的面积为80平方米 解 设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm 可以得出平行于墙的一边的长为 25 2x 1 m 由题意 得x 25 2x 1 80 化简 得x2 13x 40 0 解得x1 5 x2 8 当x 5时 26 2x 16 12 不合题意 舍去 当x 8时 26 2x 10 12 x 8 26 2x 10 答 所围矩形猪舍的长为10m 宽为8m 7 某地2014年为做好 精准扶贫 授入资金1280万元用于异地安置 并规划投入资金逐年增加 2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元 1 从2014年到2016年 该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少 2 在2016年异地安置的具体实施中 该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励 规定前1000户 含第1000户 每户每天奖励8元 1000户以后每户每天补助5元 按租房400天计算 试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励 解 1 设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x 根据题意 得1280 1 x 2 1280 1600 解得x 0 5或x 2 5 不合题意 舍去 答 从2014年到2016年 该地投入异地安置资金的年平均增长率为50 2 设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励 根据题意 得1000 8 400 a 1000 5 400 5000000 解得a 1900 答 今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励 8 创卫工作人人参与 环境卫生人人受益 我区创卫工作已进入攻坚阶段 某校拟整修学校食堂 现需购买a b两种型号的防滑地砖共60块 已知a型号地砖每块80元 b型号地砖每块40元 1 若采购地砖的费用不超过3200元 那么 最多能购买a型号地砖多少块 2 某地砖供应商为了支持创卫工作 现将a b两种型号的地砖单价都降低a 这样 该校花费了2560元就购得所需地砖 其中a型号地砖a块 求a的值 解 1 设购买a型号地砖x块 由题意 得80 x 40 60 x 3200 解得x 20 答 最多能购买a型号地砖20块 2 由题意 得80 1 a a 40 1 a 60 a 2560 解得a1 a2 20 经检验 a 20符合题意 答 a的值为20 9 新兴商场经营某种儿童益智玩具 已知成批购进时的单价是20元 调查发现 销售单价是30元时 月销售量是230件 而销售单价每上涨1元 月销售量就减少10件 但每件玩具售价不能高于40元 每件玩具的售价定为多少元时 月销售利润恰好为2520元 解 设每件玩具上涨x元 则售价为 30 x 元 根据题意 得 30 x 20 230 10 x 2520 整理方程 得x2 13x 22 0 解得x1 11 x2 2 当x 11时 30 x 41 40 x 11 不合题意 舍去 x 2 每件玩具售价应定为 30 2 32 元 答 每件玩具的售价定为32元时 月销售利润恰好为2520元 考点点拨 本考点是广东中考的次高频考点 题型一般为解答题 难度中等 解答本考点的有关题目 关键是要读懂题目的意思 根据题目给出的条件 找出合适的等量关系 列出方程并求解 注意一元二次方程的应用问题多为增长率问题 备考时应多加练习掌握 课堂巩固训练 1 方程x2 x 1 0的根是 2 2016丽水 下列一元二次方程没有实数根的是 a x2 2x 1 0b x2 x 2 0c x2 1 0d x2 2x 1 0 d b 3 2016邵阳 一元二次方程2x2 3x 1 0的根的情况是 a 有两个相等的实数根b 有两个不相等的实数根c 只有一个实数根d 没有实数根4 2016河南 若关于x的一元二次方程x