高三数学 知识点精析精练15 直线.doc

2014高三数学知识点精析精练15：直线【复习要求】1.对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等.2.对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具.3.线性规划是直线方程的又一应用.线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域.求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设t=ax+by,则此直线往右(或左)平移时，t值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解.4.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力.【复习要点】【例题】【例1】 已知点b（1，4），c（16，2），点a在直线x3y3 = 0上，并且使abc的面积等于21，求点a的坐标。解：直线bc方程为2x5y22 = 0,|bc| = ，设点a坐标(3y3,y)，则可求a到bc的距离为，abc面积为21，故点a坐标为（）或（）.【例2】 已知直线l的方程为3x+4y12=0, 求直线l的方程, 使得： (1) l与l平行, 且过点(1,3) ;(2) l与l垂直, 且l与两轴围成的三角形面积为4.解： (1) 由条件, 可设l的方程为 3x+4y+m=0, 以x=1, y=3代入, 得 3+12+m=0, 即得m=9, 直线l的方程为 3x+4y9=0;(2) 由条件, 可设l的方程为4x3y+n=0, 令y=0, 得, 令x=0, 得, 于是由三角形面积, 得n2=96, 直线l的方程是 或【例3】 过原点的两条直线把直线2x3y12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角。解：设直线2x3y12 = 0与两坐标轴交于a，b两点，则a（0，4），b（6，0），设分点c，d，设为所求角。，c（2，）.又，d(4,)，.，.【例4】 圆x2y2x6yc = 0与直线x2y3 = 0相交于p,q两点,求c为何值时,opoq(o为原点).解：解方程组消x得5y220y12c = 0,消y得5x210x4c27 = 0,opoq,，解得c = 3.【例5】 已知直线y =2xb与圆x2y24x2y15 = 0相切,求b的值和切点的坐标.解：把y =2xb代入x2y24x2y15 = 0,整理得5x24(b2)xb22b15 = 0,令= 0得b =7或b =13,方程有等根，得x =2或x = 6，代入y = 2x7与y = 2x13得y =3或y = 1，所求切点坐标为（2，3）或（6，1）.【例6】 已知|a|1,|b|1,|c|1,求证：abc+2a+b+c.证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc1)x+2bc,其中|b|1,|c|1,|x|1,且1b1.f(1)=1bc+2bc=(1bc)+(1b)+(1c)0f(1)=bc1+2bc=(1b)(1c)0线段y=(bc1)x+2bc(1x1)在x轴上方，这就是说，当|a|1,|b|1,|c|1时，恒有abc+2a+b+c.【例7】 某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为(90180)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(ab).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？解：建立如图所示的直角坐标系，ao为镜框边，ab为画的宽度，o为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点c(x,0)(x0),欲使看画的效果最佳，应使acb取得最大值.由三角函数的定义知：a、b两点坐标分别为(acos,asin)、(bcos,bsin),于是直线ac、bc的斜率分别为：kac=tanxca=,于是tanacb=由于acb为锐角，且x0,则tanacb,当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时acb取最大值，对应的点为c(,0),因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最佳.【例8】 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？解：设桌椅分别买x,y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由a点的坐标为(，)由b点的坐标为(25，)所以满足约束条件的可行域是以a(，)，b(25，)，o(0，0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25，)，但注意到xn,yn*,故取y=37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.【例9】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素a、b含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素a和63000单位维生素b.甲乙丙维生素a（单位/千克）600700400维生素b（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194 （）用x，y表示混合食物成本c元； （）确定x，y，z的值，使成本最低解：（）由题，又，所以，（）由得，所以，所以，当且仅当时等号成立所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上使得最大的点不难发现，应在点m（50，20）处取得【直线练习1】一、选择题1设m=，则m与n的大小关系为( )a.mn b.m=n c.mn d.无法判断2三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )a.15b.30c.36d.以上都不对二、填空题3直线2xy4=0上有一点p，它与两定点a(4，1)，b(3，4)的距离之差最大，则p点坐标是_.4自点a(3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y24x4y+7=0相切，则光线l所在直线方程为_.5函数f()=的最大值为_，最小值为_.6设不等式2x1m(x21)对一切满足|m|2的值均成立，则x的范围为_.三、解答题7已知过原点o的一条直线与函数y=log8x的图象交于a、b两点，分别过点a、b作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于c、d两点.(1)证明：点c、d和原点o在同一直线上.(2)当bc平行于x轴时，求点a的坐标.8设数列an的前n项和sn=na+n(n1)b，(n=1,2,),a、b是常数且b0.(1)证明：an是等差数列.(2)证明：以(an,1)为坐标的点pn(n=1,2,)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.(3)设a=1,b=,c是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r0)，求使得点p1、p2、p3都落在圆c外时，r的取值范围.参考答案一、1.解析：将问题转化为比较a(1，1）与b(102001，102000）及c(102002，102001）连线的斜率大小，因为b、c两点的直线方程为y=x，点a在直线的下方，kabkac,即mn.答案：a2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则点(x,y）应在如右图所示区域内当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11;当x=5时，y=7,8,9,10,11.以上共有15个，x,y对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个.答案：c二、3.解析：找a关于l的对称点a，ab与直线l的交点即为所求的p点.答案：p(5，6）4.解析：光线l所在的直线与圆x2+y24x4y+7=0关于x轴对称的圆相切.答案：3x+4y3=0或4x+3y+3=05.解析：f()=表示两点(cos,sin)与(2,1)连线的斜率.答案： 06.解析：原不等式变为(x21)m+(12x)0,构造线段f(m)=(x21)m+12x,2m2,则f(2)0,且f(2)0.答案： 三、7.(1)证明：设a、b的横坐标分别为x1、x2，由题设知x11,x21,点a(x1,log8x1),b(x2,log8x2).因为a、b在过点o的直线上，所以,又点c、d的坐标分别为(x1,log2x1）、(x2,log2x2).由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则由此得koc=kod,即o、c、d在同一直线上.(2)解：由bc平行于x轴，有log2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1x2=x13将其代入,得x13log8x1=3x1log8x1,由于x11知log8x10,故x13=3x1x2=,于是a(，log8).9.(1)证明：由条件，得a1=s1=a,当n2时，有an=snsn1=na+n(n1)b(n1)a+(n1)(n2)b=a+2(n1)b.因此，当n2时，有anan1=a+2(n1)ba+2(n2)b=2b.所以an是以a为首项，2b为公差的等差数列.(2)证明：b0,对于n2,有所有的点pn(an,1)(n=1,2,)都落在通过p1(a,a1)且以为斜率的直线上.此直线方程为y(a1)= (xa),即x2y+a2=0.(3)解：当a=1,b=时，pn的坐标为(n,),使p1(1,0)、p2(2, )、p3(3,1)都落在圆c外的条件是 由不等式,得r1由不等式，得r或r+由不等式，得r4或r4+再注意到r0,14=+4+故使p1、p2、p3都落在圆c外时，r的取值范围是(0，1)(1,)(4+,+).【直线练习2】1的方程为，关于轴对称的直线为，关于y轴对称的直线为，那么直线的方程为( b )abcd2与圆相外切，且与轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是。3已知定点a(1,1)，b(3,3)，点p在x轴上，且取得最大值，则p点坐标为（ b ）abcd解：p点即为过a、b两点且与x轴相切的圆的切点，设圆方程为 所以有4圆上的点到直线的最知距离为（ a ）abcd5条件甲：方程表示一双条双曲线，条件乙：则乙是甲的（ a ）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既非充分又非必要条件6设点p在有向线段的延长线上,点p分所成的比为, 则( a )abcd7如果ac0且bc0, 那么直线ax + by +c = 0, 不通过( c )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限8若点(4, m)到直线的距离不大于3, 则m的取值范围是( b )a(0, 10)bcd9原点关于直线的对称点坐标为( d )abc(3, 4)d(4, 3)10如果直线与直线关于直线y = x对称, 那么( a )abca = 3, b = 2da = 3, b = 611已知直线的夹角的平分线为, 如果l1的方程是,那么l2的方程是( a )abcd12如果直线 与直线平行, 那么系数a = ( b )a3b6cd13两条直线 垂直的充要条件是( a )abcd14如果直线l沿x轴负方向平移3个单位, 再沿y轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线l的斜率是( a )ab3cd315设a、b、c分别是abc中, a、b、c所对边的边长, 则直线 与的位置关系是( c )a平行b重合c垂直d相交但不垂直16求与点a(1, 2)的距离等于4, 且到x轴的距离等于2的点的坐标:。（3, 2）17直线l：y=kx-1与曲线不相交，则k的取值范围是( a ) a或3 b c3 d，318 2如果ac0，bc0，那么直线ax+by+c=0不通过（ c ） a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限19直线y=x1被圆，所截的弦长为（ c ） a b40 c d 20斜率为1的直线与两直线2x+y1=0，分