高三数学 知识点精析精练3 函数的综合应用.doc

2014高三数学知识点精析精练3：函数的综合应用【复习要点】在全面掌握了函数的概念与性质的基础上，能综合解决一些复杂的问题。【例题】【例1】 关于x的不等式232x3x+a2a30，当0x1时恒成立，则实数a的取值范围为 .解：设t=3x，则t1,3，原不等式可化为a2a32t2+t,t1,3.等价于a2a3大于f(t)=2t2+t在1,3上的最大值.答案：(,1)(2,+)【例2】 设是定义在上的奇函数，的图象与的图象关于直线对称，而当时，（c为常数）。（1）求的表达式；（2）对于任意，且，求证：；（3）对于任意，且，求证：1.解：（1）设g(x)上点与f(x)上点p（x，y）对应， ；在g（x）图象上g(x)定义域为x2,3，而f（x）的图象与g（x）的图象关于直线x=1对称，所以，上述解析式是f(x)在1，0上的解析式f(x)是定义在1,1上的奇函数，f(0)=0，c=4 所以，当x0，1时，x1，0，f(x)=f(x)= 所以 （2）当x0，1时，所以 （3），即 【例3】 已知函数f(x)=(a0, a1) (1) 求反函数f(x)，并求出其定义域。 (2) 设p(n)=)，如果p(n)1时，f(x)=值域为0a1时，x 0a0 (an3n)(3a)n10aa1即【例4】 设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足 存在正常数a，使f(a) = 1，求证：（1）f(x)为奇函数；（2）f(x)为周期函数，且一个周期为4a。证明：（1）令x =x1 - x2 则f( - x) = f ( x2 - x1)= f (x1 x2 )= f (x)，f (x)为奇函数。（2）f( x+a ) = fx ( a ) =f (x+2a )=f ( x+4a)=f (x) f (x)是以4a为周期的周期函数。【例5】 已知函数f(x)=logm(1)若f(x)的定义域为，（0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0m1时，使f(x)的值域为的定义域区间为 (0)是否存在？请说明理由.解：（1）x3或x3.f(x)定义域为,3设x1x2，有当0m1时，f(x)为减函数，当m1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在上的值域为0m1, f(x)为减函数.即即,为方程mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于3的两个根 0m故当0m时，满足题意条件的m存在.【例6】 已知函数f(x)=x2(m+1)x+m(mr)(1)若tana,tanb是方程f(x)+4=0的两个实根，a、b是锐角三角形abc的两个内角.求证：m5;(2)对任意实数,恒有f(2+cos)0，证明m3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sin)的最大值是8，求m.解： （1）证明：f(x)+4=0即x2(m+1)x+m+4=0.依题意： 又a、b锐角为三角形内两内角a+btan(a+b)0，即m5(2)证明：f(x)=(x1)(xm)又1cos1，12+cos3，恒有f(2+cos)0即1x3时，恒有f(x)0即(x1)(xm)0mx但xmax=3，mxmax=3(3)解：f(sin)=sin2(m+1)sin+m=且2,当sin=1时，f(sin)有最大值8.即1+(m+1)+m=8，m=3【例7】 已知函数的定义域为实数集。（1）求实数m的所有允许值组成的集合m；（2）求证：对所有，恒有 。证明（1）的定义域为实数集（2）令【例8】 设=，（a0,a1），求证：（1）过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0；（2）f(3)3。解：（1）令t=，则x=，f(x)= (tr)f(x)= (xr)设，f()f()=(1)a1时，f()f()，f(x)在(,+)上单调递增(2)0a1时，f()f()，f(x)在(,+)上单调递增时，恒有f()0（2）f(3)=a0，a1 上述不等式不能取等号，f(x)3【例9】 已知函数f(x)=lg(的定义域为（0，+），问是否存在这样的a,b，使f(x)恰在（1，+）上取正值，且f(3)=lg4，若存在，求出a,b的值，若不存在，说明理由。解：由，得，a1b0，1，xlog 又f(x)定义域为（0，+），log=0，k=1，f(x)=lg设01b0，a a，b b0 ab a b，01，lgf(1)=lg(ab) f(x)在（1，+）上取正值，lg(ab)=0 ab=1 (1) 又f(3)=lg4 lg=lg4， =4 (2) 解(1)(2)得：，b=，即有在，b=满足条件【例10】 设二次函数f(x)= ax2 +bx+c (a0且b0)。(1) 已知|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1，试求f(x)的解析式和f(x)的最小值；(2) 已知f(x)的对称轴方程是x=1，当f(x)的图象在x轴上截得的弦长不小于2时，试求a, b, c满足的条件；(3) 已知|b|0 a=1 c=-1 此时b=+1 f(x)=x2 + x-1于是 f(x)=(x + )2 f(x) (2)依题意即b=-2a，a0且b0 b0 c0 b0且b=2a为所求 (3)方法1： |2b|=|(a+b+c)-(a-b+c)|a+b+c|+|a-b+c|2 |b|1 又|b|a| 1 又|c|=|f(0)|1 又|f( 而f(x)所示开口向上的抛物线且|x|1，则|f(x)|的最大值应在x=1或x=-1或x=-时取到，因|f(-1)|1, |f(1)|1, |f(-)| 故|f(x)|得证。 方法2：令f(x)=uf(1)+vf(-1)+(1-u-v)f(0) 则f(x)=(a+b+c)u+(a-b+c)v+(1-u-v)c ax2 +bx+c=a(u+v)+b(u-v)+c f(x)= 而|f(1)| 1, |f(-1)|1, |f(0)|1 x-1, 1 =|x|=综上，当|f(0)|1, |f (-1)|1, |f(-1)|1, |x|1时，|f(x)|解法3：我们可以把，和当成两个独立条件，先用和来表示. , , . 当时，所以，根据绝对值不等式的性质可得：， 综上，问题获证. 【函数的综合应用练习】一、选择题1、已知函数f(x)=loga(2a)x对任意x,+）都有意义，则实数a的取值范围是( )a.(0, b.(0,) c.,1 d.(,)2、函数f(x)的定义域为r，且x1，已知f(x+1)为奇函数，当x1时，f(x)=2x2x+1，那么当x1时，f(x)的递减区间是( )a.，+ b.(1, c.,+ d.(1,二、填空题3、关于x的方程lg(ax1)lg(x3)=1有解，则a的取值范围是 .4、如果y=1sin2xmcosx的最小值为4，则m的值为 .三、解答题5、已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a0)满足条件:f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(mn），使f(x)定义域和值域分别为m,n和4m,4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.6、已知函数f(x)=6x6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=fg1(x), g3(x)=fg2(x),gn(x)=fgn1(x),（1）求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切nn，gn(x0)=x0都成立；（2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设有g1(x)=f(x)0, g2(x)=fg1(x)0，且n2时，gn(x)0.试问是否存在区间，对于区间内任意实数x，只要n2，都有gn(x)0.参 考 答 案1.解析：考查函数y1=和y2=(2a)x的图象，显然有02a1.由题意得a=，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：a2.解析：由题意可得f(x+1)=f(x+1).令t=x+1，则x=1t，故f(t)=f(2t)，即f(x)=f(2x).当x1,2x1，于是有f(x)=f(2x)=2(x)2，其递减区间为，+).答案：c3.解析：显然有x3，原方程可化为故有(10a)x=29,必有10a0得a10又x=3可得a.答案：a104.解析：原式化为.当1,ymin=1+m=4m=5.当11,ymin=4m=4不符.当1，ymin=1m=4m=5.答案：55解：（1）方程ax2+bx=2x有等根，=(b2)2=0,得b=2.由f(x1)=f(3x)知此函数图象的对称轴方程为x=1得a=1，故f(x)=x2+2x.（2）f(x)=(x1)2+11，4n1，即n而抛物线y=x2+2x的对称轴为x=1n时，f(x)在m,n上为增函数.若满足题设条件的m,n存在，则又mn,m=2,n=0，这时定义域为2,0，值域为8,0.由以上知满足条件的m、n存在，m=2,n=0.6(1)证明：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；设n=k时，有gk(x0)=x0(kn)成立，则gk+1(x0)=fgk(x0)=f(x0)=g1(x0)=x0即n=k+1时，命题成立.对一切nn,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0.（2）解：由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0由f