高三数学 知识点精析精练7 两角和与差的三角函数.doc

2014高三数学知识点精析精练7：两角和与差的三角函数【复习要点】1求值问题的基本类型：1给角求值，2给值求值，3给式求值，4求函数式的最值或值域，5化简求值.2技巧与方法：1要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.2注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4求最值问题，常用配方法、换元法来解决.【例题】【例1】 已知，求的范围。解：设=，（a、b为待定的系数），则=比较系数=从而可得：【例2】 设，求的解的终边相同的角的集合。解：先写出a与b的交，再写出终边相同的角的集合。设，则；所以，即，由于；因此因此所有与的角的终边相同的角的集合为【例3】 已知 的最值。解： -， 即 y=当sina，1时函数y递增，当sina=时 ymin=；当sina(，0)时，函数y递减，当sina=0时，ymin= 故当无最大值。【例4】 求值解：【例5】 已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值_.解法一：,0.+,sin()=sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)解法二：sin()=,cos(+)=,sin2+sin2=2sin(+)cos()=sin2sin2=2cos(+)sin()=sin2=【例6】 不查表求sin220+cos280+cos20cos80的值.解法一：sin220+cos280+sin220cos80= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20)=1cos40cos40sin40+sin40sin220=1cos40(1cos40)= 解法二：设x=sin220+cos280+sin20cos80y=cos220+sin280cos20sin80，则x+y=1+1sin60=，xy=cos40+cos160+sin100=2sin100sin60+sin100=0x=y=，即x=sin220+cos280+sin20cos80=.【例7】 设关于x的函数y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.解：由y=2(cosx)2及cosx1，1得：f(a)f(a)=,14a=a=2,+故2a1=，解得：a=1，此时，y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2k，kz，ymax=5.【例8】 求值：.解：原式的分子，原式的分母，所以，原式【例9】 已知，求的值解1：令，则原题等价于：已知，求的值两式分别和差化积并相除得：，所以.分别将已知两式平方并求和得：,所以，.解2：由平方相加得：上述两式平方相减得：将上式前两项和差化积，得：，结合，可解得：所以，【例10】 已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式任取，且，则不等式恒成立，即恒成立化简得由可知：，所以上式恒成立的条件为：.由于且当时，所以 ,从而 ,有 ,故的取值范围为.【例11】解： a+b+c=， 【例12】 在中，分别是角的对边，设，求的值解：由条件，依据正弦定理，得在； 即【两角和与差的三角函数练习1】一、选择题1.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均tan、tan，且，()，则tan的值是( )a.b.2 c. d. 或2二、填空题2.已知sin=，(，)，tan()= ，则tan(2)=_.3.设()，(0，)，cos()=，sin(+)=，则sin(+)=_.三、解答题4.不查表求值:5.已知cos(+x)=，(x)，求的值.6.已知=，且k(kz).求的最大值及最大值时的条件.7.如右图，扇形oab的半径为1，中心角60，四边形pqrs是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点p的位置，并求此最大面积.8.已知cos+sin=，sin+cos的取值范围是d，xd，求函数y=的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案一、1.解析：a1，tan+tan=4a0.tan+tan=3a+10,又、(,)、(,),则(,0),又tan(+)=,整理得2tan2=0.解得tan=2.答案：b2.解析：sin=,(,),cos=则tan=,又tan()=可得tan=,答案：3.解析：(),(0, ),又cos()=.答案：三、4.答案：2（kz）, （kz）当即（kz）时,的最小值为1.7.解：以oa为x轴.o为原点，建立平面直角坐标系，并设p的坐标为(cos,sin)，则ps=sin.直线ob的方程为y=x，直线pq的方程为y=sin.联立解之得q(sin；sin)，所以pq=cossin.于是spqrs=sin(cossin)=(sincossin2)=(sin2)=(sin2+cos2)=sin(2+).0,2+.sin(2+)1.sin(2+)=1时，pqrs面积最大，且最大面积是，此时，=，点p为的中点，p().8.解：设u=sin+cos.则u2+()2=(sin+cos)2+(cos+sin)2=2+2sin(+)4.u21,1u1.即d=1,1,设t=,1x1,1t.x=.【两角和与差的三角函数练习2】一、选择题1下列各三角函数式中，值为正数的是 （ c ） （a） （b） （c） （d）2是第四象限的角，则下列三角函数的值为正的是 （ b ） （a） （b） （c） （d）3的值为 （ b ） （a） （b） （c） （d）4已知=，是第三象限角，则= （ c ） （a） （c） （c）-2 （d）5若=，且为锐角，则的值等于 （ b ） （a） （b） （c） （d）6若=，则的值为 （ b ） （a）1 （b）2 （c） （d）7已知，则 （ c ） （a） （b） （c） （d）8=，则成立的是 （ d ） （a）abbc （c）acb （d）cab9函数的定义域是（ b ）a bc d10已知是第一象限角，且则是 （ c ） （a）第一象限角 （b）第二象限角 （c）第三象限角 （d）第二象限角11若，且，则下列关系正确的是 （ b ） （a） （b） （c） （d）不正确12函数的单调递减区间是 （ d ） （a） （b） （c） （d）15下面三条结论：存在实数，使成立；存在实数，使成立；若cosacosb=0，则其中正确结论的个数为 （ a ） （a）0 （b）1 （c）2 （d）316函数的值域是 （ b ） （a）-2，2 （b）-1，2 （c）-1，1 （d），217函数的最大值为 （ d ） （a）2 （b） （c） （d）119设都是锐角，且，则的取值范围是 （ d ） （a） （b），1 （c）（，1） （d）20若则的值为 （ d ） （a） （b） （c） （d）21若cos，sin0，则等于（ c ） a b3 c d22sin50(1+)的值是（ a ） a1 b2 c d三、解答题1、已知，求的值解：原式=，上式两边平方，得： ；又，原式2、在dabc中，已知三边满足试判定三角形的形状。解一：由条件展开，消dabc为（a为直角或b为直角）解二： 为3求值：解：原式=4设abc的三边为a,b,c其所对角为a,b,c如果a,b,c依次成等差数列.求证: