高三数学一轮复习 第八章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 文.ppt

文数课标版 第三节空间点 直线 平面之间的位置关系 1 四个公理公理1 如果一条直线上的 两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 公理2 过 不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 公理2的三个推论 教材研读 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 推论2 两条 相交直线确定一个平面 推论3 两条 平行直线确定一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有 一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理4 平行于同一条直线的两条直线 平行 2 空间中两直线的位置关系 1 位置关系的分类 2 异面直线所成的角 i 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的 锐角 或直角 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 ii 范围 3 有关角的重要定理空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 4 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 直线与平面的位置关系有相交 平行 直线在平面内三种情况 2 平面与平面的位置关系有平行 相交两种情况 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 两个不重合的平面只能把空间分成四部分 2 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 3 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于过a点的任意一条直线 4 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于a点 并记作 a 5 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 6 经过两条相交直线 有且只有一个平面 7 如果直线a与b没有公共点 则a与b是异面直线 1 下列命题 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 若两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 其中正确命题的个数是 a 0b 1c 2d 3答案c对于 未强调三点不共线 故 错误 易知 正确 对于 未强调三点不共线 若三点共线 则两平面也可能相交 故 错误 故选c 2 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 a 0b 1c 2d 3答案b 显然是正确的 可用反证法证明 中若a b c三点共线 则a b c d e五点不一定共面 构造长方体或正方体 如图 显然b c异面 故不正确 中空间四边形中四条线段不共面 故只有 正确 3 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b a 一定是异面直线b 一定是相交直线c 不可能是平行直线d 不可能是相交直线答案c假设c b 由公理4可知 a b 与a b是异面直线矛盾 故选c 4 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab ad的中点 则异面直线b1c与ef所成的角的大小为 答案60 解析连接b1d1 d1c 因b1d1 ef 故 d1b1c 或其补角 为所求角 又b1d1 b1c d1c d1b1c 60 考点一平面的基本性质及应用典例1已知 空间四边形abcd 如图所示 e f分别是ab ad的中点 g h分别是bc cd上的点 且cg bc ch dc 求证 1 e f g h四点共面 2 三直线fh eg ac共点 考点突破 m 平面efhg m 平面abc 又 平面efhg 平面abc eg m eg fh eg ac共点 方法指导 1 证明点共线问题 公理法 先找出两个平面 然后证明这些点都是这两个平面的公共点 再根据公理3证明这些点都在交线上 同一法 选择其中两点确定一条直线 然后证明其余点也在该直线上 2 证明线共点问题 先证两条直线交于一点 再证明第三条直线经过该点 3 证明点 直线共面问题 纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 1 1如图所示的是正方体和四面体 p q r s分别是所在棱的中点 则各图形中 p q r s四点共面的是 填序号 答案 解析对于 顺次连接p q r s 可证四边形pqrs为梯形 对于 如图所示 取a1a和bc的中点分别为m n 顺次连接p m q n r s 可证明六边形pmqnrs为正六边形 对于 顺次连接p q r s 可证四边形pqrs为平行四边形 对于 连接ps pr sr 可证q点所在棱与面prs平行 因此 p q r s四点不共面 1 2如图所示 四边形abef和abcd都是梯形 bc ad且bc ad be fa且be fa g h分别为fa fd的中点 1 证明 四边形bchg是平行四边形 2 c d f e四点是否共面 为什么 解析 1 证明 由已知可知fg ga fh hd 可得gh ad且gh ad 又 bc ad且bc ad ghbc 四边形bchg为平行四边形 2 c d f e四点共面 证明如下 证法一 由be fa且be fa g为fa的中点知befg 四边形befg为平行四边形 ef bg 由 1 可知bg ch ef ch ef与ch共面 又d fh c d f e四点共面 证法二 如图所示 延长fe dc分别与ab的延长线交于点m m 考点二空间两直线的位置关系命题角度一两直线位置关系的判定典例2如图是正四面体的平面展开图 g h m n分别为de be ef ec的中点 在原正四面体中 gh与ef平行 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de与mn垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 答案 解析把正四面体的平面展开图还原 如图所示 gh与ef为异面直线 bd与mn为异面直线 连接gm 易知 ghm为正三角形 则gh与mn成60 角 易知mn af 且af de 则de mn 答案 1 2 3解析 1 中 直线gh mn 中 g h n三点共面 但m 平面ghn 因此直线gh与mn异面 中 连接mg 易知gm hn 因此gh与mn共面 中 g m n三点共面 但h 平面gmn 因此直线gh与mn异面 2 将展开图还原为正方体 如图所示 显然 ab与cd ef与gh ab与gh都是异面直线 而ab与ef相交 cd与gh相交 cd与ef平行 故互为异面直线的有且只有3对 方法指导空间中两直线的位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 平行公理及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 2 1给定下列关于异面直线的命题 命题 1 若平面 上的直线a与平面 上的直线b为异面直线 直线c是 与 的交线 那么c至多与a b中的一条相交 命题 2 不存在这样的无穷多条直线 它们中的任意两条都是异面直线 那么 a 命题 1 正确 命题 2 不正确b 命题 2 正确 命题 1 不正确c 两个命题都正确d 两个命题都不正确 答案d当c与a b都相交 但交点不是同一个点时 平面 上的直线a与平面 上的b为异面直线 因此判断 1 是假命题 如图所示 对于 2 可以取无穷多个平行平面 在每个平面上取一条直线 且使这些直线两两不平行 则这些直线中任意两条都是异面直线 从而 2 是假命题 故选d 考点三异面直线所成的角典例4 2016课标全国 11 5分 平面 过正方体abcd a1b1c1d1的顶点a 平面cb1d1 平面abcd m 平面abb1a1 n 则m n所成角的正弦值为 a b c d 答案a解析如图 过点a补作一个与正方体abcd a1b1c1d1相同棱长的正方体 易知平面 为平面af1e 则m n所成角为 eaf1 因为 eaf1为正三角形 所以sin eaf1 sin60 故选a 方法指导用平移法求异面直线所成的角的三步法 1 一作 即据定义作平行线 作出异面直线所成的角 2 二证 即证明作出的角 或其补角 是异面直线所成的角 3 三求 解三角形 求出作出的角 如果求出的角是锐角或直角 则它就是要求的角 如果求出的角是钝角 则它的补角才是要求的角 3 1空间四边形abcd中 ab cd且ab与cd所成的角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 解析取ac的中点g 连接eg