高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的图像与性质课件1 北师大版必修4.ppt

1 5正弦函数的图像与性质 前面我们借助单位圆学习了正弦函数y sinx的基本性质 下面画出正弦函数的图像 然后借助正弦函数的图像 进一步研究它的性质 思考 有什么办法画出该曲线的图象 今天我们学习正弦函数的图像及性质 1 理解正弦函数的性质 难点 2 掌握正弦函数图像的 五点作图法 重点 1 列表 2 描点 按上表值作图 3 连线 1 用描点法作出函数图像的主要步骤是怎样的 探究点1正弦函数y sinx的图像 1 列表 作法 1 等分 2 作正弦线 3 平移 4 连线 2 因为终边相同的角的三角函数值相同 所以y sinx的图像在 与y sinx x 0 2 的图像相同 3 正弦曲线 正弦函数的图像叫作正弦曲线 与x轴的交点 图像的最高点 图像的最低点 4 五点作图法 1 1 1 简图作法 1 列表 列出对图像形状起关键作用的五点坐标 3 连线 用光滑的曲线顺次连接五个点 2 描点 定出五个关键点 o 点不在多 五个就行 思考 五点法 作图有何优 缺点 提示 五点法 就是列表描点法中的一种 它的优点是抓住关键点 迅速画出图像的主要特征 缺点是图像的精度不高 即时训练 用 五点法 作y 2sin2x的图像时 首先描出的五个点的横坐标是 解析 令2x 得 b y 1 y 1 观察正弦函数y sinx x r 的图像 想一想 1 我们经常研究的函数性质有哪些 3 你能从中得到正弦函数的哪些性质 2 正弦函数的图像有什么特点 探究点2正弦函数y sinx的性质 正弦函数y sinx的定义域为r 1 定义域 2 值域 从正弦函数的图像可以看出 正弦曲线夹在两条平行线y 1和y 1之间 所以值域为 1 1 当x a时 函数取得最大值1 反之 若函数取得最大值1时 x a 当x b时 函数取得最小值 1 反之 若函数取得最小值 1时 x b 由正弦函数图像可以看出 当自变量x的值增加2 的整数倍时 函数值重复出现 即正弦函数是周期函数 它的最小正周期是2 3周期性 由于正弦函数具有周期性 为了研究问题方便 我们可以选取任意一个x值 讨论区间 x x 2 上的函数的性质 然后延拓到整个定义域上 思考1 观察正弦函数y sinx x r 的图像 能找出正弦函数的单调区间吗 4单调性 选取区间 可知 在区间 单调性 在每一个区间 上是增加的 在每一个区间 上是减少的 x y 1 1 o 5奇偶性 图像关于原点对称 奇函数关于原点对称 根据诱导公式sin x sinx 可知正弦函数是奇函数 观察正弦函数的图像 可以看到 即时训练 下列关于函数y sinx 3的说法中 不正确的是 a 最小值为 4b 是奇函数c 当k z时 函数取最大值 2d 是周期函数 且最小正周期是2 解析 因为f x sin x 3 sinx 3 显然f x f x 所以函数y sinx 3不是奇函数 b 1 1 y sinx x 0 解 列表 x 例1 用五点法画出y sinx在区间 0 2 上的简图 o 例2 用五点法画出y 1 sinx在区间 0 2 上的简图 解 列表 y 1 sinx x y o 1 1 2 2 变式练习 用 五点法 画出函数y 3 sinx x 0 2 的图像 解析 1 列表 2 描点 连线 如图所示 对 五点法 画正弦函数图像的四点说明 1 应用的前提条件是精确度要求不是太高 2 五个点必须是确定的五点 特别提醒 3 用光滑的曲线顺次连接时 要注意线的走向 一般在最高 低 点的附近要平滑 不要出现 拐角 现象 4 五点法 作出的是一个周期上的正弦函数图像 要得到整个正弦函数图像 还要 平移 例3利用五点法画出函数y sinx 1的简图 并根据图像讨论它的性质 y sinx y sinx 1 解 列表 010 10 10 1 2 1 x y o 1 1 2 2 y sinx 1 画出简图 2 解析 1 k 0时 当sinx 1时 函数y ksinx b取得最大值 sinx 1时 y ksinx b取得最小值 所以解得 变式练习 函数y ksinx b的最大值为2 最小值为 4 求k b的值 2 k 0时 当sinx 1时 函数y ksinx b取得最小值 sinx 1时 y ksinx b取得最大值 所以解得综上可知 k 3 b 1或k 3 b 1 r 2 0 既不是奇函数也不是偶函数 2 从图像观察y sinx 1的性质并填写下表 解析 选b 由y sin x sinx知 其图像和y sinx的图像关于x轴对称 1 函数y sin x x 0 2 的简图是 b 解析 因为cos cos sinx 所以函数f x 为奇函数 2 函数f x cos的奇偶性为 a 偶函数b 奇函数c 非奇非偶函数d 既是奇函数又是偶函数 b 3 函数y sin x 1 的最小正周期是 a 2b 2 c d 1 解析 t 2 a 4 求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合 解 5 用五点法画出y sin2x一个周期的简图 1 1 y sin2x 解 x y o 6 f x 的最大值为 此时x 解题关键 利用正弦函数的值域求解 解析 因为 1 1 所以 1 1 所以 1 5 1 5 即 4 6 所以f x 的最大值为6 此时即 k z 所以x 9 12k k z 6 9 12k k z 回顾本节课的收获 正