高中数学 1.1.1变化率问题教学案 新人教A版选修22.doc

1. 1.1变化率问题课前预习学案预习目标：“变化率问题”，课本中的问题1,2。知道平均变化率的定义。预习内容：问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数,那么在吹气球问题中，当空气容量v从0增加到1l时，气球的平均膨胀率为_ 当空气容量v从1l增加到2l时，气球的平均膨胀率为_ 当空气容量从v1增加到v2时,气球的平均膨胀率为_hto 问题2 高台跳水在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?在这段时间里，=_在这段时间里，=_问题3 平均变化率 已知函数，则变化率可用式子_,此式称之为函数从到_.习惯上用表示，即=_,可把看做是相对于的一个“增量”，可用代替，类似有_,于是，平均变化率可以表示为_提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标 1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.学习重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.学习难点：平均变化率的概念.学习过程一：问题提出问题1气球膨胀率问题： 气球的体积v(单位:l)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是_.如果将半径r表示为体积v的函数,那么_.1 当v从0增加到1时,气球半径增加了_.气球的平均膨胀率为_.2 当v从1增加到2时,气球半径增加了_.hto 气球的平均膨胀率为_.可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从v1增加到v2时,气球的平均膨胀率是多少? _. 问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系_.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算t.5，1t2，1.8t2，2t2.2，时间段里的平均速度.思考计算：和的平均速度在这段时间里，_.；在这段时间里，_.探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，所以_.虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（1）计算和思考，展开讨论；（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. 需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；二平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)3 则平均变化率为_.思考：观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?（1） 一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：求自变量的增量x=x2-x1；求函数的增量f=f(x2)-f(x1)；求平均变化率.注意：x是一个整体符号，而不是与x相乘；x2= x1+x；f=y=y2-y1；三典例分析例1已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 解：例2求在附近的平均变化率。解：四有效训练1质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点p（1，1）和q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.反思总结：1、平均变化率的概念 2、如何求函数在某点附近的平均变化率当堂检测1、函数在区间上的平均变化率是（ ）a、4 b、2 c、 d、2、经过函数图象上两点a、b的直线的斜率（）为_;函数在区间1，1.5上的平均变化率为_3、如果质点m按规律运动，则在时间2，2.1中相应的平均速度等于_课后练习与提高1、 已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率 （1）1，1.01 (2)0.9,1 2、 已知一次函数在区间-2，6上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。3、已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，），求4、将半径为r的球加热，若球的半径增加，则球的体积增量1.1.1 变化率问题教学目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.教学难点：平均变化率的概念.教学过程：一、创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课讲授(一)问题提出问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是如果将半径表示为体积的函数,那么分析: (1)当从增加到时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当从增加到时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考: 当空气容量从v1增加到v2时,气球的平均膨胀率是多少? hto 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算: 和的平均速度在这段时间里,在这段时间里,探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数的图像,结合图形可知,所以虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数从到的平均变化率.2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)则平均变化率为思考: 观察函数的图象平均变化率表示什么?三、典例分析例1 已知函数的图象上的一点及临近一点则 .解: 例2 求在附近的平均变化率.解: 所以 所以在附近的平均变化率为四