硕士研究生入学考试大纲-601数学分析.doc

全国硕士研究生入学统一考试数学专业数学分析考试大纲I 考查目标全国硕士研究生入学统一考试数学专业 数学分析考试是为我校招收数学硕士生设置的具有选拔性质的考试科目。其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读数学专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利于选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为数学学科及社会的发展培养具有良好职业道德、法制观念和国际视野、具有较强分析与解决问题能力的高层次、应用型、复合型的数学专业人才。考试要求是测试考生掌握分析、表达与解决问题的一些基本能力和技能。具体来说就是：要求考生理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。II 考试形式和试卷结构一、 试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间180分钟。二、 答题方式答题方式为闭卷、笔试。不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。三、 试卷内容与题型结构一元函数微积分 约占 60%，多元函数微积分 约占 25%，无穷级数 约占 20有以下三种题型： 填空题或选择题（20%）、计算题（30%）、综合题（50%）III 考查内容1、极限和函数的连续性 （1）熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量、无穷大量的概念及基本性质。（2）掌握极限的性质及四则运算法则，能够熟练运用迫敛性定理和两个重要极限。（3）熟练掌握：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，聚点定理，有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解其相互关系。（4）熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够熟练地运用函数连续的四则运算与复合运算性质。（5）熟练掌握闭区间上连续函数的基本性质：有界性定理、最值定理、介值定理，一致连续性。（6）熟练掌握实数基本理论和性质，会用实数理论及性质表达和证明相关命题。2、一元函数微分学（1）理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。（2）熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。（3）熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。（4）能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凹凸性。（5）掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。3、一元函数积分学（1）理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，初等函数的积分。（2）掌握定积分的概念与性质及可积条件与可积函数类。（3）熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。（4）能用定积分计算：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积及在物理上的应用。（5）理解反常积分的概念。熟练掌握判断反常积分收敛的比较判别法，Abel判别法和 Dirichlet判别法。4、无穷级数 （1）理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。（2）熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，比式判别法和根式判别法，积分判别法。（3）熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的判别法。掌握绝对收敛级数的性质。（4）熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Cauchy收敛准则， Weierstrass判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法。（5）掌握幂级数及其收敛半径、收敛区间的概念。（6）熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。理解余项公式。（7）掌握傅里叶级数的概念与性质，掌握傅里叶级数展开的方法。5、多元函数微分学与积分学（1）理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分，方向导数和梯度。（2）掌握隐函数存在定理，隐函数和隐函数的求导方法。（3）会求多元函数的极值和条件极值，了解偏导数的几何应用。（4）熟练掌握重积分、两类曲线积分和两类曲面积分的计算。（5）熟练掌握Gauss公式、Green公式及Stoks公式。6、含参变量积分（1）掌握含参变量正常积分、含参变量反常积分和欧拉积分的概念与性质及一致收敛的判别法。（2）熟练掌握变上限积分及其性质。IV. 题型示例及参考答案1填空题（30分）：（1）极限 ；极限 。（2）函数的间断点是 ，该间断点的类型是第二类间断点。（3）已知函数可导，且，则 ；若取。则21 。（4）改变积分的积分次序为。其极坐标形式为。（5）级数的和函数是，及收敛区间为。2叙述的描述，证明数列发散。（6分）【解】的描述：，使得对，成立。数列发散：对任意实数，取，则可以取，则有，故数列发散。3证明数列收敛，若及其极限为，进一步证明。（8分）【证明】利用二项展开式，将表示为，比较与相应各项，注意到，得到，即数列是单调递增数列，又，当时，。第10页，共10页恒有，则有，即数列有界，根据数列收敛准则，数列收敛。若记，对任意，总是存在，使得则有，利用夹逼定理，我们得证证毕。4设函数定义在上，在每一个有限区间内有界并满足。试证明：.（10分）【证明】由题设条件知，对，（），当时，成立 （1）任取，记，则显然，于是，由（1）式，有 （2）根据在上的有界性，有，及，于是，当时，成立， （3）又 （4） 现在取，则当时，）2）（3）同时成立，由（4）我们得到。5.设函数在区间只有可去间断点，令，证明为连续函数。（6分）【证明】记的间断点全体为，记，由题设，在上处处有定义。由，对任意，存在，当。且时，总有 （1）对任意，考虑到开邻域的开集性质，存在，则对任意且，（1）成立，令，取极限得到，也即即对任意，成立，则，证明在处连续，由于的任意性，证明为连续函数。6.已知在区间内具有单调的导数，证明的导函数在区间内连续。（6分）【证明】不妨设在内单调递增，对任意，在在的左半邻域中，单调递增且以为其上界，在的右半邻域中，单调递增且以为下届，则由单调有界定理，极限和存在，由单侧导数的定义。知道，因为存在，其左右极限相等，故而得到。则在连续，由的任意性，得证在区间内连续。7.设函数在区间上二阶可导且，试证明：存在点，使得。（8分）【证明】取，由题设，得到下列Taylor展式：， （1）， （2）由（1）和（2），并注意到题设条件得到，记，则。8.证明;闭区间的全体聚点的集合是本身（8分）【证明】（1）设，若，则对的任意邻域，取，则，即中含有的无数个点，即为的聚点。若，取，则，在内含有的无穷多个点，则为的据点。同理可证也是的聚点。（2）设为的聚点，且，则或，不妨设为，则取，则且，则在中不含的点，与聚点相矛盾，故综合（1）和（2）证得。9.设和均为定义在上的有界函数，若已知仅在上有限个点处成立，则当在上可积时，在上也可积，且。（8分）【证明】设和仅在个点上取值不同，记，。对，存在，使当时，有，令，则当时，有 （1）当时，则中至多有项不为0，故从（1）式得到，由此证得在上可积且。101.设在上连续，且，证明：。（8分）【证明】对任意，由，存在，当，有，且在，f注意到的连续性，得知在闭区间上连续有界，故令则得到，即。11.已知曲线，其中，试求：（1）该曲线的弧长；（2）曲线所围图形的面积；（3）曲线绕极轴旋转所成立体的曲面面积（12分）。【解】（1）由题设可知曲线关于极轴对称，故，所以；（2）曲线所围图形面积为。（3）曲面面积。12.已知级数收敛，且级数绝对收敛，证明级数收敛。（8分）【证明】因为级数收敛，根据Cauchy收敛准则，对，存在，使得当，对任意自然数，都有 （1）由于绝对收敛，对上述，存在，使得当，对任意自然数，成立 （2）由根据收敛的定义。级数的部分和有界，即有界，也即。利用Abel变换得到，当时，对任意自然数。有。根据Cauchy收敛准则，级数收敛。13.设函数在区间上连续，证明：（1）在上收敛；（2）在上一致收敛的充要条件是什么？证明之。（8分）【证明】（1）直接计算得到，由此证明数列在上收敛；（2）上述数列在上一致收敛的充要条件是。必要性“由的连续性，故其在上有界，又函数数列一致收敛且在该区间上连续，则其极限函数在该区间上也连续，故。充分性“设，因为，导数数列的极限函数，考虑到在处连续，所以对，存在（不妨设），当时，由此我们得到：当时，当时，显然。综上所述，在上一致收敛。14.已知为区间上可积函数，且其Fuier级数在上一致收敛于，证明成立Parseval等式：。（8分）【证明】由题设，所以（这里用到了收敛的一致性质，即和运算于积分运算可交换次序）。15.已知一元函数在区间上连续，令，试证明（1）是否连续？(2) 是否一致连续？（8分）【证明】（1）由题设，对，连续，即对，存在，当，恒有，故对任意，对任意，取，则当（此时满足），得知在点处连续，由的任意性，得到在上处