高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间两直线的位置关系课件2 苏教版必修2.ppt

平面的基本性质 一 复习回顾 点a在直线l上 点a在直线l外 点a在平面内 点a在平面外 直线l在平面外 直线l在平面内 公理3 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 3 平面的基本性质的三种语言描述 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 符号语言 符号语言 符号语言 d c 二 建构数学 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 图形语言 符号语言 推论1经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 已知 点a a 求证 过点a和直线a可以确定一个平面 证明 存在性 因为a a 在a上任取两点b c 所以过不共线的三点a b c有一个平面 公理3 因为b c 所以a 公理1 故经过点a和直线a有一个平面 唯一性 如果经过点a和直线a的平面还有一个平面 那么a a 因为b a c a 所以b c 公理1 故不共线的三点a b c既在平面 内又在平面 内 所以平面 和平面 重合 公理3 所以经过点a和直线a有且只有一个平面 证明 同理 即直线ad bd cd共面 直线l与点d可以确定一个平面 推论 又 又 直线ad bd cd在同一个平面内 例1 已知 求证 直线ad bd cd共面 公理 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 图形语言 符号语言 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 证明 在a上取不同于点p的点a 即 过a b有一个平面 过直线b和点a有一个平面 即 过a b有一个平面 存在性 唯一性 平面的基本性质 例2 两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知 ab ac a ab bc b ac bc c 求证 直线ab bc ac共面 证法一 因为ab ab a 所以直线ab ac确定一个平面 推论2 因为b ab c ac 所以b c 故bc 公理1 因此直线ab bc ca共面 平面的基本性质 证法二 因为a 直线bc上 所以过点a和直线bc确定平面 推论1 因为a b bc 所以b 故ab 同理ac 所以ab ac bc共面 平面的基本性质 证法三 因为a b c三点不在一条直线上 所以过a b c三点可以确定平面 公理3 因为a b 所以ab 公理1 同理bc ac 所以ab bc ca三直线共面 要证各线共面 先确定一个平面 再证明其他直线也在这个平面内 例2 已知a b c d是两两相交且不共点的四条直线 求证 a b c d共面 证明 如图 1 当q s r 三点重合时 如图 2 同理 a b可确定一个平面 即 a b c d共面 推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面 图形语言 符号语言 a b 推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面 证明 由平行线的定义知 a b在同一平面内 设点a为直线a上任一点 则点a在直线b外 点a和直线b在过a b的平面 内 又由推论1 过点a和直线b的平面只有一个 过a b有且只有一个平面 a b a 如果经过直线a b的平面还有一个平面 那么a b 平面 就是一个平面 例3 已知空间四点a b c d不在同一平面内 求证 ab cd既不平行也不相交 证明 假设ab和cd平行或相交 则ab cd可确定一个平面 与a b c d不共面矛盾 ab和cd既不平行也不相交 数学运用 画出由a1 c1 p三点所确定的平面 与长方体表面所在平面的交线 数学运用 6 如图 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是aa1 d1c1的中点 过d m n三点的平面与正方体的下底面相交于直线l 1 画出l的位置 2 设l a1b1 p 求pb1的长 有三位同学证明如下 请判断正误 问题研讨 正方体中 试画出过其中三条棱的中点p q r的平面截得正方体的