高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词课件 北师大版选修11 (2).ppt

1 3全称量词与存在量词 1 全称量词 全称命题名师点拨1 全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题 常见的全称量词有 所有 每一个 任何 任意 一切 任给 全部 等 2 有些命题省去了全称量词 但仍是全称命题 如 有理数是实数 就是 所有的有理数都是实数 3 全称命题的真假判断 要判断一个全称命题是真命题 必须对限定集合m中的每一个元素x 验证p x 成立 但要判断一个全称命题是假命题 只需列举出一个x m 使得p x 不成立即可 2 存在量词 特称命题 名师点拨1 特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题 常见的存在量词有 有些 有一个 存在 某个 有的 等 2 特称命题的真假判断 要判断一个特称命题是真命题 只要在限定集合m中 能找到一个x 使得命题p x 成立即可 否则这一命题就是假命题 3 全称命题与特称命题的区别 1 全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质 无一例外 强调 整体 全部 2 特称命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外 强调 个别 部分 特别提醒通过举例验证的方式说明全称命题为真命题是容易出现的错误 注意规避 做一做1 1 命题 有些长方形是正方形 中含有的量词是 该量词是量词 填 全称 或 存在 该命题是命题 填 全称 或 特称 2 命题 负数没有对数 中省略的量词是 这是一个命题 填 全称 或 特称 答案 1 有些存在特称 2 所有的全称 做一做2 下列命题中 既是真命题又是特称命题的是 a 存在一个 使tan tan 90 c 对一切 使sin sin 180 d sin sin cos cos sin 解析 只有a b两个选项中的命题是特称命题 因为 sinx 1 所以sinx 不成立 故b中命题为假命题 又因为当 45 时 tan tan 90 故a中命题为真命题 答案 a 3 全称命题与特称命题的否定 1 全称命题的否定是特称命题 2 特称命题的否定是全称命题 名师点拨1 写出一个全称命题或特称命题的否定时 通常要将命题的两个地方进行改变 一是量词符号要改变 二是结论要进行否定 2 全称命题 或特称命题 与其否定的真假性恰好相反 做一做3 1 至多有三个 的否定是 2 命题 任意的实数x sinx 1的否定是 3 命题 存在有理数x x2 5的否定是 它是命题 填 真 或 假 答案 1 最少有四个 2 存在实数x sinx 1 3 任意的有理数x x2 5真 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 全称量词的含义是 任意性 存在量词的含义是 存在性 2 同一个特称命题的表达形式是唯一的 3 全称命题的否定一定是特称命题 特称命题的否定一定是全称命题 4 从特称命题的否定看 是对 量词 和 p x 的同时否定 5 全称命题与其否定的真假可以相同 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题 1 所有的常数数列都是等比数列 2 有些实数a b能使 a b a b 4 有一个函数 既是奇函数 又是偶函数 5 质数都是奇数 分析看命题中是否含有全称量词或存在量词 若含有相关量词 则根据量词确定命题是全称命题还是特称命题 若没有 则要结合命题的具体意义进行判断 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 含有全称量词 所有的 故是全称命题 2 含有存在量词 有些 故是特称命题 3 含有全称量词 任意 故是全称命题 4 含有存在量词 有一个 故是特称命题 5 省略了全称量词 所有的 故是全称命题 反思感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的方法 1 分析命题中所含的量词 含有全称量词的命题是全称命题 含有存在量词的命题是特称命题 2 当命题中不含量词时 要注意根据命题含义的实质进行判断 3 全称命题有时可能会省略全称量词 但特称命题的量词一般不能省略 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1下列命题中 是全称命题的是 是特称命题的是 填序号 正方形的四条边相等 有两个角是45 的三角形是等腰直角三角形 正数的平方根不等于0 至少有一个正整数是偶数 解析 是全称命题 是特称命题 答案 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 判断下列命题的真假 1 任意直线都存在斜率 2 存在实数 使得sin sin 3 存在等差数列 其前n项和sn n2 2n 1 4 任意的实数x sinx cosx 1 5 存在实数x x2 2x 3 0 分析先判断每个命题是全称命题还是特称命题 再根据相应命题真假性判断的方法进行判断 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 是全称命题 由直线斜率的定义知 倾斜角等于90 的直线不存在斜率 故该命题为假命题 2 是特称命题 由于sin sin sin 因此sin 0 这时 k k z 即当 k k z 时 满足sin sin 故该命题是真命题 5 是特称命题 因为对任意x r x2 2x 3 x 1 2 2 2 0 所以不存在x r 使x2 2x 3 0 故该命题为假命题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟全称命题与特称命题的真假判断的技巧 1 全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题 必须对限定集合m中的每个元素x验证p x 成立 但要判定全称命题是假命题 只要能举出集合m中的一个x 使得p x 不成立即可 2 特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题 只要在限定集合m中 找到一个x 使p x 成立即可 否则 这一特称命题就是假命题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2给出下列命题 有一个实数x 使tanx无意义 任意实数x 3 x 1 2 所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 存在实数x sinx cosx 其中真命题的个数是 a 1b 2c 3d 4答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 写出下列各个命题的否定 1 一切分数都是有理数 2 有些实数的绝对值是正数 分析先判断每个命题是全称命题还是特称命题 再按照规则写出相应的否定 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 一般地 写含有一个量词的命题的否定 首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题 并找到量词及相应结论 然后把命题中的全称量词改成存在量词 存在量词改成全称量词 同时否定结论 即得其否定 2 对于省略量词的命题 应先挖掘命题中隐含的量词 改写成含量词的完整形式 再依据规则来写出命题的否定 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3写出下列含有量词的命题的否定 并判断真假 1 所有矩形的对角线相等 2 存在实数m x2 x m 0的两根都是正数 解 1 有的矩形的对角线不相等 假命题 2 对任意实数m x2 x m 0的两根不都是正数 真命题 假设x2 x m 0的两根x1 x2都是正数 所以不存在实数m 使x2 x m 0的两根都是正数 所以命题的否定为真命题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对全称量词或存在量词的意义理解有误而致错 典例 f x x2 2x g x ax 2 a 0 对任意的x 1 2 存在x0 1 2 使f x g x0 则实数a的取值范围是 易错分析本题的常见错解是由题意推出函数g x 的值域是函数f x 值域的子集 原因是对全称量词与存在量词意义的理解出现错误而导致的 解析 由于函数f x 在定义域 1 2 内是任意取值的 且必存在x0 1 2 使得f x g x0 因此问题等价于函数f x 的值域是函数g x 值域的子集 函数f x 的值域是 1 3 函数g x 的值域是 2 a 2 2a 则有2 a 1 且2 2a 3 即a 3 答案 c 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得应用全称命题与特称命题求参数范围应注意 1 全称命题的常见题型是 恒成立 问题 当全称命题为真时 意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质 所以可以代入 也可以根据函数或不等式等数学知识来解决 2 特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论 存在 不存在 是否存在 等语句表达 解答这类问题 一般要先对结论作出肯定的假设 再从肯定的假设出发 结合已知条件进行推理证明 若推出合理的结论 则存在性随之解决 若导致矛盾 则否定了假设 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练若命题 存在x r 使x2 2x m 0 是假命题 则实数m的取值范围为 解析 若命题 存在x r 使x2 2x m 0 是假命题 则其否定为真命题 即 对任意x r 都有x2 2x m 0 是真命题 则 4 4m1 所以m的取值范围为 1 答案 1 1234 5 1 下列命题不是特称命题的是 a 有些实数的平方可以等于零b 存在x 0 使x2 0c 至少有一个三角函数的周期是2 d 二次函数是偶函数解析 二次函数是偶函数意思是所有的二次函数都是偶函数 故此命题是全称命题 不是特称命题 答案 d 1234 5 2 对x r 关于x的不等式f x 0有解 等价于 a 存在x r 使得f x 0成立b 存在x r 使得f x 0成立c 任意x r f x 0成立d 任意x r f x 0成立解析 对x r 关于x的不等式f x 0有解 的意思就是存在x r 使得f x 0成立 故选a 答案 a 1234 5 3 已知命题p 任意x 1 2 x2 a 0 命题q 存在x r 使x2 2ax 2 a 0 若命题p与q都是真命题 则实数a的取值范围是 a a a 2或a 1 b a a 1 c a a 2或1 a 2 d a 2 a 1