高中数学 第二章 解三角形整章导学稿 北师大版必修5(1).doc

第二章 解三角形1.1正弦定理（一）1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题1.在初中，我们已学过如何解直角三角形，如图：（1）若c=300，bc=4，则b=_,ab=_,ac=_；（2）若c=200，ab=5，则bc=_，ac=_。 （用三角表示即可）2.在直角三角形abc中，a=900，则sinc=_ ，cosc=_。3.猜想直角三角形中，角和边之间的数量关系：如图，在rtabc中，a=900，设bc=a，ac=b，ab=c，尝试推导角与边的等式关系.（提示：根据锐角三角函数中正弦函数的定义） 一（师生合作）推导正弦定理根据自主探究，在直角三角形中有，那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？【推导方法一】可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当abc是锐角三角形时，设边ab上的高是cd，根据任意角三角函数的定义，有cd=，则， 同理可得， 从而类似可推出，当abc是钝角三角形时，以上关系式仍然成立请你试一试。【推导方法二】阅读课本45页，理解正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使， ，；（2）等价于 ，（3）正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如； 二正弦定理的应用例1. 在中，已知，cm，求b,c和c（一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形）练一练：在中，已知，cm，解三角形例2. 在中， ,解此三角形.练一练：在中，解此三角形.1.在中，一定成立的等式是（ ）a b.c. d.2.已知abc中，a4，b8，a30，则b等于 3. 已知abc中，abc114，则abc等于（ ）.a114 b112 c11 d224. 已知abc中，则= 1. 正弦定理：2. 正弦定理的证明方法：三角函数的定义，还有 等积法，外接圆法，向量法.3应用正弦定理解三角形： 已知两角和一边；已知两边和其中一边的对角 1. 在abc中，若，则与的大小关系为（ ）.a. b. c. d. 、的大小关系不能确定2.在中，若，则是（ ）.a等腰三角形 b等腰三角形或直角三角形c直角三角形 d等边三角形3. 已知abc中，a，则= 4. 已知abc中，ab6，a30，b，解此三角形5. 已知abc中，sinasinbsinck(k1)2k (k0)，求实数k的取值范围为1.1正弦定理（二）1.正弦定理及其拓展.2.已知两边和其中一边的对角,判断三角形时解的个数.3.三角形面积公式推导及应用.1.正弦定理:_，正弦定理的变形公式：_.2.在中,已知,求和。3.课本48页图2-7(1)所示,在中,斜边是外接圆的直径(设外接圆的半径为)因此.这个结论对于任意三角形(图2-7(2),图2-7(3)是否成立?试一试。4.在中,则的面积.对于任意,已知及,则的面积成立吗?探究一利用正弦定理判断三角形解的个数（1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解.（2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在abc中，已知a,b和a时，解的情况如下：.a为锐角a为钝角或直角图形关系式a=bsinaabbsinaababab解的个数一解两解无解一解无解例1.在中,角所对的边分别为.若,求角探究二面积公式的应用三角形的面积：（1）s=aha（ha表示边a上的高）；（2）s=absinc=bcsina=acsinb； （3）s=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).例2.在中,角所对的边分别为.已知,求的面积.例3（课本48页例3）课本49页练习2第1、2题写在书上，3、4题请务必抄题画图第3题： 第4题：1. 在中，若，则是（ ）.a等腰三角形 b等腰三角形或直角三角形 c直角三角形 d等边三角形2. 已知abc中，abc114，则abc等于（ ）.a114 b112 c11 d223. 在abc中，若，则与的大小关系为（ ）.a. b. c. d. 、的大小关系不能确定4. 已知abc中，则= 5. 已知abc中，a，则= 6.判断下列各题中满足条件的角解的个数，并解出值。（ 1）. （2）.（ 3）. （4）1.2余弦定理1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题问题:在三角形中,已知两角及一边,或已知两边和其中一边的对角,可以利用正弦定理求其他的边和角.那么,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边呢?已知三条边,又怎么求出它的三个角呢?余弦定理 ：=_求角公式：_= _=_探究1.请同学们叙述并证明余弦定理。理解定理（1）若c=，则 ，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例（2）余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角试试：（1）abc中，求（2）abc中，求典型例题例1. 在abc中，已知，求和变式：在abc中，若ab，ac5，且cosc，则bc_例2. 在abc中，已知三边长，求三角形的最大内角变式：在abc中，若，求角a. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围： 已知三边，求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边知识拓展：在abc中：若，则角是直角；若，则角是钝角；若，则角是锐角1. 已知a，c2，b150，则边b的长为（ ）. a. b. c. d. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.a b c d3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.a bx5c 2x dx54. 在abc中，|3，|2，与的夹角为60，则|_5. 在abc中，已知三边a、b、c满足，则c等于 6. 课本51页练习练习：第1题： 第2题：1. 在abc中，已知a7，b8，cosc，求最大角的余弦值2. 在abc中，ab5，bc7，ac8，求的值.3.课本52页a组（务必抄题）1.2.4.5.7.2 三角形中的几何计算1. 熟悉正、余弦定理的内容、作用及所解三角形的类型，能够联系勾股定理、三角形的面积定理及三角形内角和公式有关三角形问题灵活的解三角形。2. 善于运用分类讨论的思想，先易后难、逐层推进的思想解决一些繁难的三角问题。 通过本节课的探究，勇于探究、勇于创新、善于分析以及具体问题具体分析的科学精神和良好的学习习惯，并对正弦定理、余弦定理的反射产生愉悦感，从而激发兴趣。1.写出正弦定理、余弦定理的表达式，并用文字语言叙述其内容，你能写出定理的那些变形？2.三角形的面积公式有：_;_.3.(请画图)在梯形abcd中，ad/bc,ab=5，ac=9，,求bd的长。探究一 正弦定理的应用例1、在中，角a、b、c所对的边分别为且的最大边长为12，最小的正弦值为。（1）判段的形状。 （2）求的面积。 探究二正弦定理与余弦定理的综合应用例2.在a、b、c，且，（1） 求的值 ；（2）若b=2，=3，求a 1.课本55页练习（请画图）2.在中，(1)求ab的值，（2）求课本56页习题2-2（要有解题过程和图形）第1题.第2题.第3题.第5题.3 解三角形的实际应用举例（一）1.加深对正、余弦定理的理解，提高熟练程度 2.掌握正、余弦定理在实际中的应用:（1）测量距离（2）测量高度b1.如图，设a、b两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在a的同侧，在所在的河岸边选定一点c，测出ac的距离是100m，求a、b两点间的距离c。a2.某人向正东方向走x千米后，他向右转，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为 （ ） 3.有一长为100m的斜坡，它的倾斜角是，现在要把倾斜角改成，则坡底要伸长_m.探究一测量距离的问题例1、为了测量河对岸两个建筑物c、d之间的距离，在河岸边取点a、b，千米，a、b、c、d在同一个平面内，试求c、d之间的距离。cdba探究二测量高度思考：ab是底部b不可到达的一个建筑物，a为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 ab的方法。例1.如图，在山顶铁塔上b处测得地面上一点a的俯角b，在塔底c处测得a俯角。已知铁塔bc部分的高为30m，求出山高cd.dac（请抄题画图）课本61页练习2. 课本62页a组12.课本62页b组1题：（请抄题画图）dcab2.如图，某人要测量顶部不能到达的电视塔ab的高度，他在c点测得塔顶a的仰角是，在d点测得塔顶a的仰角是，并测得水平面上的角，求电视塔ab的高度。 3解三角形的实际应用举例（二）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.复习1：在中，已知，且，求.复习2：设的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a=，求的值.探究一例1. 如图，一艘海轮从a出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛b，然后从b出发，沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛c.如果下次航行直接从a出发到达c，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1，距离精确到0.01n mile) 例2. 某巡逻艇在a处发现北偏东45相距9海里的c处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 变式训练1. 甲、乙两船同时从b点出发，甲船以每小时10(1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达a、c两点，求a、c两点的距离，以及在a点观察c点的方向角.1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；2已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 1. 从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，则，的关系为（ ）.a b= c+= d+=2. 已知两线段，若以、为边作三角形，则边所对的角a的取值范围是（ ）.a b c d3. 关于的方程有相等实根，且a、b、c是的三个内角，则三角形的三边满足（ ）.a b c d4. abc中，已知a:b:c=(+1) :(-1): ，则此三角形中最大角的度数为 .5. 在三角形中，已知:a，a，b给出下列说法:(1)若a90，且ab，则此三角形不存在 (2)若a90，则此三角形最多有一解(3)若a90，且a=bsina，则此三角形为直角三角形，且b=90(4)当a90，ab时三角形一定存在(5)当a90，且bsinaabsinab.a=bsina c.a2b.x2c.2x2d.2x2二、填空题9.在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知a,a=,b=1,则c=.10.在abc中，a=60,c=45,b=2.则此三角形的最小边长为.11.abc的三内角a、b、c的对边边长分别为a、b、c.若a=b,a=2b,则cosb=.12.在abc中，已知tanb=,cosc=,ac=3,