高中数学《交集、并集》教案 苏教版必修1(1).docVIP

交集、并集教学目标：使学生正确理解交集与并集的概念，会求两个已知集合交集、并集；通过概念教学，提高逻辑思维能力，通过文氏图的利用，提高运用数形结合解决问题的能力；通过本节教学，渗透认识由具体到抽象过程.教学重点：交集与并集概念.数形结合思想.教学难点：理解交集与并集概念、符号之间区别与联系.教学过程：.复习回顾集合的补集、全集都需考虑其元素，集合的元素是什么这一问题若解决了，涉及补集、全集的问题也就随着解决.讲授新课师我们先观察下面五个图幻灯片：请回答各图的表示含义.生图(1)给出了两个集合a、b.图(2)阴影部分是a与b公共部分.图(3)阴影部分是由a、b组成.图(4)集合a是集合b的真子集.图(5)集合b是集合a的真子集.师进一步指出图(2)阴影部分叫做集合a与b的交集.图(3)阴影部分叫做集合a与b的并集.由(2)、(3)图结合其元素的组成给出交集定义.幻灯片： 1.交集一般地，由所有属于a且属于b的元素所组成的集合，叫做a与b的交集.记作ab（读作“a交b”）即abxxa，且xb借此说法，结合图(3)，请同学给出并集定义幻灯片： 2.并集一般地，由所有属于a或属于b的元素组成的集合，叫做集合a与b的并集.a与b的并集记作ab（读作“a并b”）即abxxa，或xb学生归纳以后，教师给予纠正.那么图(4)、图(5)及交集、并集定义说明aba图（4），abb图（5)3.例题解析(师生共同活动)例1设axx2，bxx3，求ab.解析：此题涉及不等式问题，运用数轴即利用数形结合是最佳方案.解：在数轴上作出a、b对应部分，如图ab为阴影部分abxx2xx3x2x3例2设axx是等腰三角形，bxx是直角三角形，求ab.解析：此题运用文氏图，其公共部分即为ab.解：如右图表示集合a、集合b，其阴影部分为ab.abxx是等腰三角形xx是直角三角形xx是等腰直角三角形例3设a4，5，6，8,b3，5，7，8，求ab.解析：运用文氏图解答该题解：如右图表示集合a、集合b，其阴影部分为ab则ab4,5,6,83,5,7,83,4,5,6,7,8.例4设axx是锐角三角形，bxx是钝角三角形，求ab.解：abxx是锐角三角形xx是钝角三角形xx是斜三角形例5设ax1x2，bx1x3，求ab.解析：利用数轴，将a、b分别表示出来，则阴影部分即为所求.解：将ax1x2及bx1x3在数轴上表示出来.如图阴影部分即为所求.abx1x2x1x3x1x3师设a,b是两个实数，且ab，我们规定：实数值r也可以用区间表示为（-,+）,“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”，我们还可以把满足xa,xa,xb,xb的实数x的集合分别表示为a,+,(a,+),(-,b),(-,b).课堂练习1.设a3，5，6，8，b4，5，7，8，(1)求ab，ab.(2)用适当的符号(、)填空：ab_a，b_ab，ab_a，ab_b，ab_ab.解：(1)因a、b的公共元素为5、8故两集合的公共部分为5、8,则ab3，5，6，84，5，7，85，8又a、b两集合的元素3、4、5、6、7、8.故ab3，4，5，6，7，8(2)由文氏图可知aba，bab，aba，abb，abab2.设axx5，bxx0，求ab.解：因x5及x0的公共部分为 0x5故abxx5xx0x0x53.设axx是锐角三角形，bxx是钝角三角形，求ab.解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故a、b两集合没有公共部分.abxx是锐角三角形xx是钝角三角形=4.设axx2，bxx3，求ab.解：在数轴上将a、b分别表示出来，阴影部分即为ab，故abxx25.设axx是平行四边形，bxx是矩形，求ab.解：因矩形是平行四边形.故由a及b的元素组成的集合为ab，abxx是平行四边形6.已知m1，n1，2，设a（x，y）xm，yn，b（x，y）xn， ym，求ab，ab.解析：m、n中元素是数.a、b中元素是平面内点集，关键是找其元素.解：m1，n1，2则a（1，1），（1，2），b（1，1），（2，1），故ab（1，1），ab（1，1），（1，2），（2，1）.课时小结在求解问题过程中要充分利用数轴、文氏图，无论求解交集问题，还是求解并集问题，关键还是寻求元素.课后作业课本p13习题1.3 27参考练习题:1.设axx2n，nn*，bxx2n，nn，则ab_，ab_.解：对任意ma，则有m2n22n1，nn*因nn*，故n1n，有2n1n，那么mb即对任意ma有mb，所以ab，而10b但10a，即ab，那么aba，abb.评述：问题的求解需要分析各集合元素的特征，以及它们之间关系，利用真子集的定义证明a是b的真子集，这是一个难点，只要突破该点其他一切都好求解.2.求满足1，2b1，2，3的集合b的个数.解：满足1，2b1，2，3的集合b一定含有元素3，b3还可含1或2，其中一个有1，3，2，3，还可含1、2，即1，2，3,那么共有4个满足条件的集合b.评述：问题解决的关键在于集合b的元素可以是什么数，分类讨论在解题中作用不可忽视.以集合b元素多少进行分类.3.axx5，bxx0，cxx10，则ab，bc，abc分别是什么?解：因axx5，bxx0，cxx10，在数轴上作图，则abx0x5，bcx0x，abc评述：将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行.4.设a4，2，a1，a2，b9，a5，1a，已知ab9，求a.解：因ab9，则a19或a29a10或a3当a10时，a55，1a9当a3时，a12不合题意.a3时，a14不合题意.故a10，此时a4，2，9，100，b9，5，9，满足ab9，那么a10.评述：合理利用元素的特征互异性找a、b元素.5.已知ayyx24x6，xr , yn，byyx22x7，xr ,yn，求ab，并分别用描述法，列举法表示它.解：yx24x6（x2）222，ayy2，yn又yx22x7（x1）288byy8，yn故aby2y82，3，4，5，6，7，8.评述：此题注意组成集合的元素有限，还是无限.集合的运算结果，应还是一个集合.6.已知非空集合ax2a1x3a5，bx3x22，则能使a(ab)成立的所有a值的集合是什么？解：由题有：aab，即ab， a非空，用数轴表示为，那么由方程表示为：6a9评述：要使aab，需aa且ab，又aa恒成立，故ab，由数轴得不等式.注意a是非空.若去掉这一条件效果如何.求解过程及结果是否会变化.请思考.交集、并集(一)1.设axx2n，nn*，bxx2n，nn，则ab_，ab_.2.求满足1，2b1，2，3的集合b的个数.3.axx5，bxx0，cxx10，则ab，bc，abc分别是什么?4.设a4，2，a1，a2，b9，a5，1a，已知ab9，求a.5.已知ayyx24x6，xr , yn，byyx22x7，xr ,yn，求ab，并分别用描述法，列举法表示它.6.已知非空集合ax2a1x3a5，bx3x22，则能使a(ab)成立的所有a值的集合是什么？交集、并集(二)教学目标： 使学生掌握集合交集及并集有关性质，运用性质解决一些简单问题，掌握集合的有关术语和符号；提高分析、解决问题的能力和运用数形结合求解问题的能力；使学生树立创新意识.教学重点：利用交集、并集定义进行运算.教学难点：集合中元素的准确寻求教学过程：.复习回顾集合的交集、并集相关问题的求解主要在于集合元素寻求.讲授新课例1求符合条件1p1，3，5的集合p.解析：（1）题中给出两个已知集合1，1，3，5与一个未知集合p，欲求集合p，即求集合p中的元素；（2）集合p中的元素受条件1p1，3，5制约，两个关系逐一处理，由1与p关系1p，知1p且p中至少有一个元素不在1中，即p中除了1外还有其他元素；由p与1，3，5关系p1，3，5，知p中的其他元素必在1，3，5中，至此可得集合p是1，3或1，5或1，3，5.例2已知uxx250，xn，（cum）l1，6，m（cul）2，3，cu(ml)0，5，求m和l.解析：题目中出现u、m、l、cum、cul多种集合，就应想到用上面的图形解决问题.第一步：求全集5xx250，xn0，1，2，3，4，5，6，7第二步：将(cum)l1，6，m（cul）2，3，cu(ml）0，5中的元素在图中依次定位.第三步：将元素4，7定位.第四步：根据图中的元素位置得m2，3，4，7，n1，6，4，7.例350名学生报名参加a、b两项课外学科小组，报名参加a组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加b组的人数比报名参加a组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加a、b两组的人数和两组都没有报名的人数.解析：此题是一道应用题，若用建模则寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图设ab的元素为x个，则有(30x)x（33x）（x1）50，可得x21，x18那么符合条件的报名人数为8个.例4设全集ix1x9，xn，求满足1，3，5，7，8与b的补集的集合为1，3，5，7的所有集合b的个数.解析：(1)求ix1x9，xn1，2，3，4，5，6，7，8，因1，3，5，7，8（cub）1，3，5，7，则cub中必有1，3，5，7而无8.(2)要求得所有集合b个数，就是要求cub的个数. cub的个数由cub中的元素确定，分以下四种情况讨论：cub中有4个元素，即cub1，3，5，7cub中有5个元素，cub中有元素2， 4，或6，cub有3个.cub中有6个元素，即从2和4，2和6，4和6三组数中任选一组放入cub中，cub有3个cub中有7个元素，即cub1，3，5，7，2，4，6综上所有集合cub即b共有8个.例5设u1，2，3，4，5，6，7，8，a3，4，5，b4，7，8，求ab、ab、cua、cub、（cua）（cub）、(cua)(cub).解析：关键在于找cua及cub的元素，这个过程可以利用文氏图完成.解：符合题意的文氏图如右所示，由图可知ab4，ab3，4，5，7，8，cua1，2，6，7，8，cub1，2，3，5，6(cua)(cub)1，2，6，即有(cua)（cub）cu(ab)(cua)(cub)1，2，3，5，6，7，8，即有(cua)(cub)cu (ab)例6图中u是全集，a、b是u的两个子集，用阴影表示(cua)（cub）.解析：先将符号语言(cua)（cub）转换成与此等价的另一种符号语言cu(ab)，再将符号语言cu(ab)转换成图形语言(如下图中阴影部分)例7已知ax1x3，ab，abr，求b.分析：问题解决主要靠有关概念的正确运用，有关式子的正确利用.解：由ab及abr知全集为r，crab故bcraxx1或x3，b集合可由数形结合找准其元素.例8已知全集i4，3，2，1，0，1，2，3，4，a3，a2，a1，ba3，2a1，a21，其中ar，若ab3，求ci（ab）.分析：问题解决关键在于求ab中元素，元素的特征运用很重要.解：由题i4，3，2，1，0，1，2，3，4，a3，a2，a1，ba3，2a1，a21，其中ar，由于ab3，因a211，那么a33或2a13，即a0或a1则a3，0，1，b4，3，2，ab4，3，0，1，2ci（ab）2，1，3，4例9已知平面内的abc及点p，求pp ap b pp ap c解析：将符号语言 ppapb ppapc转化成文字语言就是到abc三顶点距离相等的点所组成的集合.故 ppapb ppapcabc的外心.例10某班级共有48人，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，试求体育和文艺都不爱好的有几名?解析：先将文字语言转换成符号语言，设爱好体育的同学组成的集合为a，爱好文艺的同学组成的集合为b.整个班级的同学组成的集合是u.则体育和文艺都爱好的同学组成的集合是ab，体育和文艺都不爱好的同学组成的集合是(cua)（cub)再将符号语言转换成图形语言：通过图形得到集合(cua)（cub）的元素是8最后把符号语言转化成文字语言，即(cua)（cub）转化为：体育和文艺都不爱好的同学有8名.课堂练习1.设a（x，y）3x2y1，b（x，y）xy2，c（x，y）2x2y3，d（x，y）6x4y2，求ab、bc、ad.分析：a、b、c、d的集合都是由直线上点构成其元素ab、bc、ad即为对应直线交点，也即方程组的求解.解：因a（x，y）3x2y1，b（x，y）xy2则 ab（1，1）又c（x，y）2x2y3，则方程无解bc又 d（x，y）6x4y2，则化成3x2y1ad（x，y）3x2y1评述：a、b对应直线有一个交点，b、c对应直线平行，无交点.a、d对应直线是一条，有无数个交点.2.设axx2k，kz，bxx2k1，kz，cxx2（k1），kz，dxx2k1，kz，在a、b、c、d中，哪些集合相等，哪些集合的交集是空集?分析：确定集合的元素，是解决该问题的前提.解：由整数z集合的意义，axx2k，kz，cxx2（k1），kz都表示偶数集合.bxx2k1，kz，dxx2k1，kz表示由奇数组成的集合故ac，bd那么，abad偶数奇数，cbcd偶数奇数3.设uxx是小于9的正整数，a1，2，3，b3，4，5，6，求ab，cu(ab).分析：首先找到u的元素，是解决该题关键.解：由题uxx是小于9的正整数1，2，3，4，5，6，7，8那么由a1，2，3，b3，4，5，6得ab3则cu(ab)1，2，4，5，6，7，8.课时小结1.能清楚交集、并集有关性质，导出依据.2.性质利用的同时，考虑集合所表示的含义，或者说元素的几何意义能否找到.课后作业课本p14 习题1.3 7，8参考练习题：1.(1)已知集合pxry22（x3），yr，qxry2x1，yr，则pq为 （ ）a.(x，y)x，yb.x1x3c.x1x3d.xx3(2)设s、t是两个非空集合，且st，ts，记xst，那么sx等于 （ ）a.sb.tc.d.x(3)已知，m3，a，nxx23x0，xz，mn1，pmn，则集合p的子集的个数为 （ ）a.3b.7c.8d.16解析：(1)因pxry22（x3），yr，xy233，即pxx3又由qxry2x1，yr，xy211即1xx1pqx1x3即选c另解：因pq的元素是x，而不是点集.故可排除a.令x1，有1p，1q，即1pq，排除b取2，由2q，否定d，故选c.评述：另解用的是排除法，充分利用有且只有一个正确这一信息，通过举反例，取特殊值而排除不正确选项，找到正确选择支，在解集合问题时，对元素的识别是个关键.本题若开始就解方程组，这样就易选a(2)因xst，故xs，由此sxs，选a另解：若x，则有文氏图有sxs若x，则由文氏图sxss，综上选a.评述：本题未给出集合中元素,只给出两个抽象集合及其间关系,这时候想到利用文氏图.(3)因nxx23x0，xz 即nx0x3，xz1，2又 mn1，故m3，1，此时pmn1，2，3，子集数238，选c.2.填空题(1)已知集合m、n满足，cardm6，cardn13，若card（mn）6，则card（mn）_.若mn，则card(mn)_.(2)已知满足“如果xs，且8xs”的自然数x构成集合s若s是一个单元素集，则s_；若s有且只有2个元素，则s_.(3)设u是一个全集，a、b为u的两个子集，试用阴影线在图甲和图乙中分别标出下列集合. cu（ab）(ab) (cua)b解析：(1)因cardm6，cardn13，由文氏图，当card（mn）6时，card（mn）6713又当mn，则card（mn）19(2)若s中只有一个元素，则x8x即x4 s4若s中有且只有2个元素.则可由x分为以下几种情况，使之两数和为8，即0，8，1，7，2，6，3，5评述：由集合s中元素x而解决该题.(3)符合题意的集合用阴影部分表示如下：cu(ab)(ab) (cua)b3.设全集i不超过5的正整数，axx25xq0，bxx2px120且(cua)b1，3，4，5，求实数p与q的值.解析：因(cua)b1，3，4，5则b1，3，4，5且x2px120即b3，4 1，5cua 即2，3，4a又 x25xq0，即a2，3故p（34）7，q236评述：此题难点在于寻找b及a中元素是什么,找到元素后运用韦达定理即可得到结果.4.设a3，4，bxx22axb0，b且ba，求a、b.解析：因a3，4，bxx22axb0b，ba，那么x22axb0的两根为3，4，或有重根3，4.即b3或b4或b3，4当x3时，a3，b9x4时，a4，b16当x3，x24时，a（34），b12评述：此题先求b，后求a、b.5.axaxa3，bxx1或x5，分别就下面条件求a的取值范围. ab，aba.解：因axaxa3，bxx1或x5又 ab，故在数轴上表示a、b则应有a1，a35即1a2因aba，即ab那么结合数轴应有a31或a5即a4