高中数学《向量的应用》教案 苏教版必修4(1).doc

向量的应用三维目标1知识与技能会用向量方法处理简单的物理和几何问题2过程与方法通过本节的学习，研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想3情感、态度与价值观(1)培养分析事物间相互联系的能力，提高学科间相互渗透的学习方法(2)通过对实际问题的抽象思考，培养分析问题和应用知识解决问题的意识与能力(3)培养热爱生活、热爱自然的高尚情怀重点难点重点：用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题难点：用向量方法解决实际问题的基本方法教学建议 关于向量方法在平面几何及物理中的教学教学时，建议教师在引导学生回顾向量的线性运算、数量积运算及向量加减法的几何意义、向量共线定理、平面向量基本定理等知识的前提下，通过实例充分展示向量的工具性，突出其在生产实际中的应用，在巩固知识的同时，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新和开拓能力教学流程课标解读1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题2.会用向量方法解决某些简单的几何问题(重点、难点)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”向量在物理中的应用图251如图251，在细绳o处用水平力f2缓慢拉起所受重力g的物体，绳子与铅垂方向的夹角为，绳子所受到的拉力为f1，求：(1)|f1|，|f2|随角的变化而变化的情况；(2)当|f1|2|g|时，角的取值范围【思路探究】由力的平衡原理知，重力g是绳子的拉力和水平拉力的合力，且gf2，f1与g的夹角为，解三角形求得力的大小与的关系，再回答相关问题【自主解答】(1)由力的平衡原理知，gf1f20，作向量f1，f2，g，则，四边形oacb为平行四边形，如图由已知aoc，boc，|，|tan .即|f1|，|f2|g|tan ，0，)由此可知，当从0逐渐增大趋向于时，|f1|，|f2|都逐渐增大(2)当|f1|2|g|时，有2|g|，cos ，又0，)0，1解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成2解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型图252如图252，作用于同一点o的三个力f1，f2，f3处于平衡状态，已知|f1|1，|f2|2，f1与f2的夹角为，求f3的大小【解】f1，f2，f3三个力处于平衡状态，f1f2f30，即f3(f1f2)，|f3|f1f2|.向量在平面几何中的应用图253如图253所示，四边形abcd是正方形，p是对角线db上的一点(不包括端点)，e，f分别在边bc，dc上，且四边形pfce是矩形，试用向量法证明：paef.【思路探究】以点d为原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，dp，求出向量与的坐标，分别求出它们的长度判断即可【自主解答】建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，dp(0)，则a(0,1)，p(，)，e(1，)，f(，0)(，1)，(1，)，|，|，|，paef.用向量证明平面几何问题的方法，常见有两种思路：(1)向量的线性运算法(2)向量的坐标运算法已知直角三角形的两直角边长分别为2和4，求两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值【解】如图，在rtabc中，c90，d，e分别是bc，ac边的中点bc2，ac4.则cd1，ce2.|，|2.()()42001210.设与的夹角为，则cos .故直线ad和be所夹的锐角的余弦值为.法二如图所示建立直角坐标系，点c为原点，两直角边为坐标轴其中点a(0,4)，b(2,0)，d(1,0)，e(0,2)则(1，4)，(2，2)12(4)(2)10.|，|2.设与的夹角为，则cos .故直线ad和be所夹的锐角的余弦值为.向量在解析几何中的应用已知点p(3,0)，点a在y轴上，点q在x轴的正半轴上，点m在直线aq上，满足0，当点a在y轴上移动时，求动点m的轨迹方程【思路探究】一般要先设出动点坐标即m(x，y)，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程【自主解答】设点m(x，y)为轨迹上的任意一点，设a(0，b)，q(a,0)(a0)，则(x，yb)，(ax，y)，(x，yb)(ax，y)a，b，则a(0，)，q(，0)，(3，)，(x，y)0，(3，)(x，y)0.3xy20，所求轨迹方程为y24x(x0)利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算使问题得以解决已知点a(1,0)，直线l：y2x6，点r是直线l上的一点，若2，求点p的轨迹方程【解】设p(x，y)，r(x0，y0)，则(1,0)(x0，y0)(1x0，y0)，(x，y)(1,0)(x1，y)由2，得又点r在直线l：y2x6上，y02x06，由得x032x，代入得62(32x)2y，整理得y2x，即为点p的轨迹方程.应用问题的题意理解不清致误在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向【错解】如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以，为邻边作abdc，则就是船的航行速度由|12，得|12，又|4，|8(km/h)tandab，dab60，船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流方向的夹角为60.【错因分析】错解中错在没有正确理解题意，导致船的航行方向求解错误【防范措施】准确理解题意，抽象出物理问题中的向量，建立为以向量为主体的数学模型，是解决此类问题的关键所在【正解】如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作abcd，则就是船的航行速度|4，|12，|8，tanacb.cadacb30，bad120，船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流方向的夹角为120. 1平面向量在几何表示下的应用通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系2平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系实现向量的坐标化，有时是最不容易做到的3用向量理论讨论物理中相关问题的步骤(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.1若向量1(2,2)，2(2,3)分别表示两个力f1，f2，则|f1f2|_.【解析】f1f2(2,2)(2,3)(0,5)，|f1f2|5.【答案】52在abc中，a(1,2)，b(3,1)，c(2，3)，则ac边上的高所在直线方程为_【解析】(3，5)，设p(x，y)是所求直线上任意一点，(x3，y1)，所以ac边上的高所在的直线方程为(x3，y1)0，即3x5y40.【答案】3x5y403在四边形abcd中，若0，0，则四边形的形状为_【解析】，|，且，故四边形abcd为矩形【答案】矩形图2544如图254所示，在平行四边形abcd中，已知ad1，ab2，对角线bd2，求对角线ac的长【解】设a，b，则ab，ab.|ab|，|252ab4.可得2ab1.|2|ab|2a22abb2|a|22ab|b|2142ab，|26，|，即ac.一、填空题1点p在平面上做匀速直线运动，速度v(4，3)，设开始时点p的坐标为(10,10)，则5秒后点p的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)_【解析】5秒后点p的坐标为(10,10)5(4，3)(10，5)【答案】(10，5)2已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某一物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于_【解析】由题意可知f4(f1f2f3)(2，1)(3,2)(4，3)(1，2)(1,2)【答案】(1,2)3在rtabc中，c90，ac4，则等于_【解析】c90，0，()216.【答案】164(2013无锡高一检测)若四边形abcd满足0，()0，则该四边形的形状一定是_【解析】0，ab綊cd，四边形abcd是平行四边形()0，0，四边形abcd是菱形【答案】菱形5(2013重庆高考)在oa为边，ob为对角线的矩形中，(3,1)，(2，k)，则实数k_.【解析】如图所示，由于(3,1)，(2，k)，所以(1，k1)在矩形中，由得0，所以(3,1)(1，k1)0，即311(k1)0，解得k4.【答案】46若，则o是abc的_心【解析】()0，0，.同理，故点o为abc的垂心【答案】垂7已知直线axbyc0与圆x2y21相交于a，b两点，且ab，则_.【解析】|1，|1，|，aob120，11cos 120.【答案】8已知船在静水中的速度大小为5 m/s，且船在静水中的速度大小大于水流速度大小，河宽为20 m，船垂直到达对岸用的时间为5 s，则水流速度大小为_m/s.【解析】设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船的实际速度为v3，建立如图所示的平面直角坐标系|v1|5 m/s，|v3|4 m/s，则v3(0,4)，v1(3,4)，v2v3v1(0,4)(3,4)(3,0)|v2|3 m/s，即水流的速度大小为3 m/s.【答案】3二、解答题9已知，四边形abcd是菱形，ac和bd是它的两条对角线，求证acbd.【证明】，()()|2|20，即acbd.10一条小船以10 km/h的速度向垂直于对岸方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成60角，求水流速度大小与船的实际速度大小【解】如图所示，表示小船垂直于对岸行驶的速度，表示水流速度，表示船的实际速度则由题意知nop60，|10，又四边形ompn是矩形，|sin 6010.|.|cos 60.水流速度为 km/h，船的实际速度为 km/h.11已知圆c：(x3)2(y3)24及点a(1,1)，m是圆c上的任意一点，点n在线段ma的延长线上，且ma2an，求点n的轨迹方程【解】设m(x0，y0)，n(x，y)，则(1x0,1y0)，(x1，y1)，由2，得又点m在圆c上，即(x03)2(y03)24，(2x33)2(2y33)24，即x2y21，点n的轨迹方程为x2y21.在oab的边oa、ob上分别有一点p、q，已知oppa12，oqqb32，连结aq、bp，设它们交于点r，若a，b.(1)用a与b表示；(2)若|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，过点r作rhab交ab于点h，用a与b表示.【思路探究】本题主要考查向量的线性运算、共线向量和向量的垂直，充分利用三点共线的隐含条件是解决本题的关键【自主解答】(1)a，b，由a、r、q三点共线，可设m，故amam()(1m)amb.同理，由b、r、p三点共线，可设n，故bn()a(1n)b，由于a与b不共线，则解得ab.(2)由a、h、b共线，可设，则a(1)b，()a()b.又，0，即()a()b(ba)0.又ab|a|b