高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修21.ppt

2 2椭圆2 2 1椭圆及其标准方程 自主学习新知突破 1 了解椭圆的实际背景 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程 2 了解椭圆的标准方程的推导及简化过程 3 掌握椭圆的定义 标准方程及几何图形 取一条定长的无弹性的细绳 把它的两端分别固定在图板的两点f1 f2处 套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖 问题1 若绳长等于两点f1 f2的距离 画出的轨迹是什么曲线 提示1 线段f1f2 问题2 若绳长l大于两点f1 f2的距离 移动笔尖 动点m 满足的几何条件是什么 动点的轨迹是什么 提示2 mf1 mf2 l 动点的轨迹是椭圆 椭圆的定义 距离之和等于常数 定点 距离 mf1 mf2 2a 对椭圆定义的理解 1 集合的语言描述为p m mf1 mf2 2a 2a f1f2 2 平面内到两定点f1 f2的距离的和为常数 即 mf1 mf2 2a 当2a f1f2 时 轨迹是椭圆 当2a f1f2 时 轨迹是一条线段f1f2 当2a f1f2 时 轨迹不存在 椭圆的标准方程 c 0 c 0 0 c 0 c c2 a2 b2 椭圆标准方程中注意的几个问题 1 a2 c2 b2 a b 0 a最大 其中a b c构成如图的直角三角形 我们把它称为 特征三角形 2 方程中的两个参数a与b 确定椭圆的形状和大小 焦点f1 f2的位置 是椭圆的定位条件 它决定椭圆标准方程的类型 3 方程ax2 by2 c表示椭圆的充要条件是 abc 0 且a b c同号 a b a b时 焦点在y轴上 a b时 焦点在x轴上 解析 由椭圆方程知a2 25 则a 5 pf1 pf2 2a 10 答案 d 答案 a 答案 6 2 3 4 求适合下列条件的椭圆的方程 1 焦点在x轴上 且经过点 2 0 和点 0 1 2 焦点在y轴上 与y轴的一个交点为p 0 10 p到它较近的一个焦点的距离等于2 合作探究课堂互动 求椭圆的标准方程 思路点拨 求椭圆标准方程的关注点确定椭圆的方程包括 定位 和 定量 两个方面 1 定位 是指确定与坐标系的相对位置 在中心为原点的前提下 确定焦点位于哪条坐标轴上 以判断方程的形式 2 定量 是指确定a2 b2的具体数值 常根据条件列方程求解 用待定系数法求椭圆的标准方程的解题步骤 如图 在圆c x 1 2 y2 25内有一点a 1 0 q为圆c上一点 aq的垂直平分线与c q的连线交于点m 求点m的轨迹方程 利用椭圆的定义求轨迹方程 思路点拨 首先观察图形 结合平面几何的性质得到点m到线段aq两端的距离相等 然后由a c这两个定点联想到椭圆的定义 得到点m到这两个定点a c的距离的和等于圆c的半径5 从而可知所求点m的轨迹是椭圆 由题意知点m在线段cq上 从而有 cq mq mc 又点m在aq的垂直平分线上 则 ma mq ma mc cq 5 求解有关椭圆的轨迹问题 一般有如下两种思路 1 首先通过题干中给出的等量关系列出等式 然后化简等式得到对应的轨迹方程 2 首先分析几何图形所揭示的几何关系 看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义 若符合椭圆的定义 则用待定系数法求解即可 2 已知圆a x 3 2 y2 100 圆a内一定点b 3 0 圆p过b点且与圆a内切 求圆心p的轨迹方程 思路点拨 由余弦定理和椭圆定义分别建立 pf1 pf2 的方程 求出 pf1 pf2 后 再求 pf1f2的面积 椭圆定义的应用 椭圆上一点p与椭圆的两焦点f1 f2构成的 f1pf2称为焦点三角形 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义 三角形中的正弦定理 余弦定理等知识 错解一 2c 6 c 3 由椭圆的标准方程知a2 25 b2 m2 a2 b2 c2 得25