高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 2.3.2 空间向量基本定理课件 北师大版选修21.ppt

3向量的坐标表示和空间向量基本定理3 1空间向量的标准正交分解与坐标表示3 2空间向量基本定理 学课前预习学案 某次反恐演习中 一特别行动小组获悉 恐怖分子 将 人质 隐藏在市动物园往南500米 再往东400米处的某大厦12楼 每层楼高3 5米 行动小组迅速赶到市动物园 然后按标识顺利到达目的地 完成解救 人质 的任务 从标识中可以看出 确定市动物园的位置后 大夏的位置就随之确定 人质 的隐藏地由 南500米 东400米 12楼 这三个量确定 设e1是向南的单位向量 e2是向东的单位向量 e3是向上的单位向量 你能由市动物园的位置 用一组实数表示出 人质 的位置吗 提示 人质 的位置可由向量p 500e1 400e2 42e3表示 也就是可用 500 400 42 这样一组数表示 人质 的位置 标准正交分解 标准正交基 坐标 x y z 坐标表示 x y z 强化拓展 1 标准正交基i j k是单位正交基 即两两垂直 模均为1 2 对于空间的一个向量a 其坐标表示a x y z 是唯一确定的 3 当空间向量a的起点移至坐标原点时 终点坐标就是向量a的坐标 两个向量相等是指两个向量方向相同 长度相等 而与起点的位置无关 因此 向量的坐标表示等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标 4 特殊向量的坐标表示若向量a平行x轴 则a x 0 0 若向量a平行y轴 则a 0 y 0 若向量a平行z轴 则a 0 0 z 若向量a平行xoy平面 则a x y 0 若向量a平行yoz平面 则a 0 y z 若向量a平行zox平面 则a x 0 z 投影 坐标轴正方向上 强化拓展 1 向量的投影是实数而不再是向量 2 求向量a在向量b上的投影 首先计算出向量a的模 a 再求出两个向量a b的夹角 a b 最后计算出a在向量b上的投影 a cos a b 由于两向量的夹角在 0 内 故 a cos a b 可以是正值 可以是零 也可以是负值 3 空间向量基本定理 1 如果向量e1 e2 e3是空间三个 的向量 a是空间任一向量 那么存在唯一一组实数 1 2 3 使得a 2 空间中不共面的三个向量e1 e2 e3叫作这个空间的一个 a 1e1 2e2 3e3表示向量a关于基底e1 e2 e3的 e1 e2 e3都叫作基向量 当向量e1 e2 e3两两垂直时 就得到这个向量的一个正交分解 当e1 i e2 j e3 k时 a 1e1 2e2 3e3叫作a的标准正交分解 不共面 1e1 2e2 3e3 基底 分解 强化拓展 1 空间向量基本定理与平面向量基本定理类似 区别仅在于基底中多了一个分量 从而分解结果中也多了一项 其解决问题的思路和步骤基本相同 2 空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 基底选定后 空间的所有向量均可由基底唯一表示 3 由于0与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以若三个向量不共面 就说明它们都不是0 4 空间的一个基底是指一个向量组 是由三个不共面的空间向量构成 一个基向量是指基底中的某个向量 二者是相关联的不同概念 1 下列说法中正确的个数是 作为空间一个基底的三个向量不共线 作为空间一个基底的三个向量不共面 空间的任何三个向量都可以作为空间的一个基底 a 0b 1c 2d 3解析 空间的一个基底必须是三个不共面向量 从而一定是不共线向量 故 与 正确 不正确 答案 c 答案 d 3 a的模为2 b的模为3 a b 60 则a在b上的投影为 解析 a在b上的投影为 a cos a b 2 cos60 1 答案 1 讲课堂互动讲义 思路导引 能否构成空间的基底 只需判断给出的向量组中的三个向量是否共面即可 答案 c 名师妙点 1 由于a b c是不共面向量 所以可以构造图形 利用平行六面体中从某一点出发的三条棱所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直观判断 2 充分利用一些常见的几何体 如 正方体 长方体 平行六面体 四面体等可以帮助我们进行相关的判断 1 设a b c是三个不共面向量 则 a b a b a c b c a b c中能与a b构成空间的一个基底的为 填序号 解析 a b a b都是与a b共面的向量 由于a b c不共面 所以a b与a c b c a b c都不共面 答案 名师妙点 1 空间中的任一向量均可用一组不共面的向量 基底 表示 只要基底选定 这一向量用基底表达的形式是唯一的 2 表示的步骤 找到以指定向量为一边的封闭图形 结合平行四边形法则或三角形法则 用基底表示封闭图形的各边所对应的向量 写出向量的表达式 名师妙点 用坐标表示空间向量的方法 1 观察图形 充分观察图形特征 2 建坐标系 根据图形特征建立空间直角坐标系 3 进行计算 综合利用向量的加 减及数乘运算 4 确定结