高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.1.1 简单形式的柯西不等式 2.1.2 一般形式的柯西不等式课件 北师大版选修45.ppt

第二章 几个重要的不等式 1柯西不等式1 1简单形式的柯西不等式1 2一般形式的柯西不等式 1 简单形式的柯西不等式 1 理解并掌握二维形式柯西不等式的数学意义和几何背景 会应用二维形式的柯西不等式证明简单的不等式或求一些特定函数的最值 2 掌握二维形式的三角不等式的代数形式及其几何意义 3 理解柯西不等式在证明中的作用 学习目标 2 一般形式的柯西不等式理解一般形式的柯西不等式的证明过程 掌握一般形式的柯西不等式 会用一般形式的柯西不等式解决一些简单问题 1 用柯西不等式进行简单的证明 重点 2 用柯西不等式求最值 重点 3 二维形式 向量形式的柯西不等式及其几何意义 难点 4 柯西不等式的几种形式 易混点 学法指要 预习学案 1 如右图 已知在正方形abcd中 有四个全等的直角三角形 设直角三角形的两条直角边的长为a b 则正方形abcd的面积为s1 4个直角三角形面积的和为 a2 b2 s2 则s1 s2 填 或 据此 我们就可得到一个不等式 用a b的式子表示 并且当a b时 直角三角形变为 时 s1 s2 2ab a2 b2 2ab 等腰直角三角形 2 平面向量a b中 若a 4 3 b 1 且a b 5 则向量b 1 简单形式的柯西不等式对任意实数a b c d有 当向量 a b 与向量 c d 时 等号成立 其向量形式 不等式 称为柯西不等式 不等式 称为柯西不等式的向量形式 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 共线 2 一般形式的柯西不等式设a1 a2 an与b1 b2 bn是两组实数 则有 当 共线时等号成立 3 推论 设a1 a2 a3 b1 b2 b3是两组实数 则有 当向量 a1 a2 a3 与向量 b1 b2 b3 共线时 成立 向量 a1 a2 an 与向量 b1 b2 bn 1 二维形式的柯西不等式可用 表示 a a2 b2 2ab a b r b a2 b2 c2 d2 ab cd 2 a b c d r c a2 b2 c2 d2 ac bd 2 a b c d r d a2 b2 c2 d2 ac bd 2 a b c d r 答案 c 答案 a 课堂讲义 已知a1 a2 b1 b2为正实数 求证 利用柯西不等式证明 1 已知a2 b2 1 x2 y2 1 求证 ax by 1 思路点拨 构造柯西不等式的形式 证明不等式 证明 a2 b2 1 x2 y2 1 又由柯西不等式知 1 a2 b2 x2 y2 ax by 2 1 ax by 2 1 ax by ax by 所以不等式得证 已知实数a b c d满足a b c d 3 a2 2b2 3c2 6d2 5 试求a的最值 思路点拨 利用柯西不等式构造出与a有关的不等式 求解不等式得出a的最值 应用柯西不等式解最值问题 2 若2x 3y 1 求4x2 9y2的最小值 并求最小值点 思路点拨 利用柯西不等式求最小值 当等号成立时 求最小值点 柯西不等式的向量形式的应用 3 已知a b r 且a b 1 求证 ax by 2 ax2 by2 思路点拨 解答本题可采用向量形式的柯西不等式 简单柯西不等式 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 与中学数学中的代数 几何 三角等各方面都有联系 熟悉这些联系能更本质地把握不等式 并更自觉地应用它 1 全量不小于部分 由恒等式 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 ad bc 2 即得 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 简单柯西不等式的认识 5 二次函数的判别式 由f x ax c 2 bx d 2 0 可得其判别式不大于0 4 ac bd 2 4 a2 b2 c2 d2 0