高中数学 3.1 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 复数的概念及复数相等课件 新人教B版选修12.ppt

第1课时复数的概念及复数相等 1 在问题情境中 了解数系的扩充过程 体会实际需求与数学知识体系内部的矛盾 数的运算规则 求方程的根 在数系扩充过程中的作用 感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系 2 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 1 2 3 4 1 实数系 1 实数包括有理数和无理数 2 数系扩充的脉络 自然数系 整数系 有理数系 实数系 即n z q r 3 实数的性质 实数对四则运算是封闭的 即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数 0与1的性质 a 0 0 a a 1 a a 1 a 加法和乘法都满足交换律 结合律 乘法对加法满足分配律 4 实数系和数轴上的点可以建立一一对应关系 名师点拨在实数范围内可以进行加 减 乘 除 乘方 开方等运算 但要注意开方运算的局限性 1 2 3 4 做一做1 给出下列五个命题 当a 0时 关于x的一元二次方程x2 ax a 0有两个正根 其中正确的命题有 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 应为故不正确 当a 0时 a2 4a不一定为正数 因此方程不一定有两个正根 故不正确 正确 答案 c 1 2 3 4 2 复数 1 虚数i满足i2 1 2 设a b都是实数 形如a bi的数叫做复数 其中i叫做虚数单位 全体复数所构成的集合叫做复数集 3 复数通常用小写字母z表示 即z a bi a b r 这一表示形式叫做复数的代数形式 对于复数z a bi a b r 其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部 名师点拨复数的代数形式a bi a b r 要求a b必须是实数 否则不是代数形式 1 2 3 4 做一做2 1 复数z1 i 3的实部为 虚部为 2 复数z2 i2的实部为 虚部为 解析 1 z1 i 3 3 i 其实部为3 虚部为 1 2 z2 i2 1 1 0i 实部为 1 虚部为0 答案 1 3 1 2 10 1 2 3 4 3 复数的分类对于复数a bi a b r 当且仅当b 0时 它是实数 当且仅当a b 0时 它是0 当b 0时 它是虚数 当a 0 且b 0时 它是纯虚数 归纳总结 1 实数集r是复数集c的真子集 即r c 至此 我们学过的有关数集的关系如下 2 若z是纯虚数 可设z bi b 0 b r 若z是虚数 可设z a bi b 0 a b r 若z是复数 可设z a bi a b r 1 2 3 4 做一做3 1 已知a b r 则 a b 是 a b a b i为纯虚数 的 a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件解析 当a b 0时 a b a b i 0为实数 因此不是充分条件 而由 a b a b i为纯虚数一定能推出a b 答案 c 1 2 3 4 做一做3 2 设m r 复数z 2m2 3m 2 m2 3m 2 i 1 若z为实数 则m 2 若z为纯虚数 则m 解析 1 由m2 3m 2 0 得m 1或m 2 故当m 1或m 2时 z是实数 1 2 3 4 4 复数相等如果a b c d都是实数 那么a bi c di a c 且b d a bi 0 a 0 且b 0 名师点拨应用两复数相等的充要条件时 一定要把 左右两边的复数写成代数形式 即分离实部与虚部 做一做4 若复数4 3a a2i与a2 4ai相等 则实数a的值为 a 1b 1或 4c 4d 0或 4 答案 c 如何理解 两个复数 如果不全是实数 则不能比较大小 只有相等或不相等的关系 剖析 1 根据复数相等的定义知 对于复数a bi和c di 其中a b c d r 在a c b d两式中 只要有一个不成立 那么a bi c di 2 若两个复数全是实数 则可以比较大小 反之 若两个复数能比较大小 则它们必定都是实数 即虚部均为0 3 若两个复数不全是实数 则不能比较大小 不能比较大小 的确切含义是指 不论怎样定义两个复数之间的一个关系 b这三种情况有且只有一种成立 若a0 则ac bc 题型一 题型二 题型三 题型四 复数的分类 例题1 当m取何实数时 复数 1 是实数 2 是虚数 3 是纯虚数 分析 根据复数z为实数 虚数及纯虚数 利用它们的充要条件可分别求出相应的m值 题型一 题型二 题型三 题型四 反思复数z a bi a b r是复数的代数形式 由a b的取值来确定z是实数 虚数 纯虚数或零 在解题时 关键是确定复数的实部和虚部 题型一 题型二 题型四 题型三 复数相等的应用 例题2 已知 x y y 1 i 2x 3y 2y 1 i 求实数x y的值 分析 利用两个复数相等的充要条件求解 解 根据复数相等的充要条件可知 反思两个复数相等的充要条件是 实部与实部相等 虚部与虚部相等 题型一 题型二 题型三 题型四 复数与实数之间的关系 例题3 若不等式m2 m2 3m i m2 4m 3 i 10成立 求实数m的值 分析 由于两个复数能比较大小 故它们都是实数 由此列出关于m的式子 求出m的值 故m 3 反思两个复数 只有它们全为实数时才能比较大小 只要有一个是虚数 就不能比较大小 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 本节常出现的错误是混淆复数中的有关概念 忽视复数集与实数集中有关性质的不同 例题4 下列命题 两个复数不能比较大小 若z a bi 则仅当a 0 b 0时z为纯虚数 x yi 1 i x y 1 若实数a与ai对应 则实数集与纯虚数集一一对应 其中正确命题的个数是 a 0b 1c 2d 3错解 b 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析 因为实数也是复数 而两个实数是能比较大小的 故 错误 在 中 z a bi未对a b加以限制 故 错误 在 中 当x y r时 可推出x y 1 而此题未限制x y r 故 错误 在 中 忽视0 i 0 故 错误 正解 a反思弄清虚数 纯虚数 实数 复数相等等概念是正确求解此类问题的关键 123456 1设c 复数 a 实数 b 纯虚数 全集u c 那么下列结论正确的是 a a b cb ua bc a ub d b ub c解析 实数 纯虚数 复数 a选项不正确 ua 虚数 b选项也不正确 ub中会有实数 c选项也不正确 答案 d 123456 2复数 i 1的虚部是 a 1b 1c id i答案 b 123456 3若z a bi a b r 则下列结论中正确的是 a 若a 0 则z是纯虚数b 若b 0 则z是实数c 若a b 2 i 5 3i 则a 5 b 2id z的平方不可能为 1答案 b 123456 4 a