高考数学大一轮复习 专题11 概率与统计课件 文.ppt

专题11概率与统计 第1节随机事件的概率 古典概型 几何概型第2节统计与统计案例 600分基础考点 考法 考点60随机事件及其概率 第1节随机事件的概率 古典概型 几何概型 考点61古典概型与几何概型 700分综合考点 考法 考点62概率与统计知识的综合应用 600分基础考点 考法 考法1频率估计概率 考法2求互斥事件 对立事件的概率 考点60随机事件及其概率 1 频率与概率 2 互斥事件与对立事件 3 概率的几个基本性质 考点60随机事件及其概率 1 在相同的条件s下重复n次试验 观察某一事件a是否出现 称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数 称事件a出现的比例为事件a出现的频率 2 对于给定的随机事件a 如果随着试验次数的增加 事件a发生的频率fn a 稳定在某个常数 把这个常数记作p a 称为事件a的概率 1 频率与概率 2 互斥事件与对立事件 3 概率的几个基本性质 1 互斥事件 若a b为不可能事件 a b 则称事件a与事件b互斥 其含义是 事件a与事件b在任何一次试验中不会同时发生 2 对立事件 若a b为不可能事件 a b为必然事件 则事件a与事件b互为对立事件 其含义是 事件a与事件b在任何一次试验中有且仅有一个发生 考点60随机事件及其概率 1 频率与概率 2 互斥事件与对立事件 3 概率的几个基本性质 1 概率的取值范围 0 p a 1 2 必然事件的概率 p a 1 3 不可能事件的概率 p a 0 4 互斥事件的概率加法公式 p a b p a p b a b互斥 p a1 a2 an p a1 p a2 p an a1 a2 an彼此互斥 5 对立事件的概率 考点60随机事件及其概率 考法1频率估计概率 事件a发生的频率是利用频数na除以试验总次数n所得到的值 且随着试验次数的增多 它在a的概率附近摆动 幅度越来越小 即概率是频率的稳定值 因此在试验次数足够多的情况下 给出不同事件发生的次数 可以利用频率来估计相应事件发生的概率 操作步骤 1 进行大量的随机试验 记录要研究事件发生的频数 2 根据频率计算公式由记录的频数计算频率 3 观察频率的稳定情况 由频率与概率的关系估计事件发生的概率 注意 1 必须依赖大量的重复试验 寻找要估计概率的事件发生的频率的稳定值 2 先根据条件所给数据求出若干频率 然后观察其稳定情况 给出概率的估计值 考点60随机事件及其概率 b 考法1频率估计概率 考点60随机事件及其概率 考法1频率估计概率 考点60随机事件及其概率 1 求简单的互斥事件 对立事件的概率 2 求复杂的互斥事件的概率的方法 考法2求互斥事件 对立事件的概率 将所求事件分解为彼此互斥的事件的和 利用公式分别计算这些事件的概率 运用互斥事件的概率求和公式计算概率 判断是否适合用间接法 计算对立事件的概率 运用公式p a 1 p a 求解 直接法 间接法 根据定义分析事件是互斥事件 还是对立事件 选择相应的概率公式进行计算 注意 1 互斥事件研究的是两个 或多个 事件之间的关系 所研究的事件是在一次试验中涉及的 2 能把一个复杂事件分解为若干个互斥或相互独立的既不重复又不遗漏的简单事件 考点60随机事件及其概率 考法2求互斥事件 对立事件的概率 经统计 在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下 求 1 至多2人排队等候的概率 2 至少3人排队等候的概率 考法例 题眼 根据互斥事件 第 1 问可转化为等候的人数为0人 1人和2人的概率和 第 2 问可转化为等候的人数为3人 4人和5人及5人以上的概率和 或转化为其对立事件 至多2人排队等候 考点60随机事件及其概率 考法2求互斥事件 对立事件的概率 经统计 在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下 求 1 至多2人排队等候的概率 2 至少3人排队等候的概率 考法例 解 记 0人排队等候 为事件a 1人排队等候 为事件b 2人排队等候 为事件c 3人排队等候 为事件d 4人排队等候 为事件e 5人及5人以上排队等候 为事件f 则事件a b c d e f互斥 1 记 至多2人排队等候 为事件g 则g a b c 所以p g p a p b p c 0 1 0 16 0 3 0 56 2 方法一 记 至少3人排队等候 为事件h 则h d e f 所以p h p d p e p f 0 3 0 1 0 04 0 44 方法二 记 至少3人排队等候 为事件h 则其对立事件为事件g 所以p h 1 p g 0 44 考点60随机事件及其概率 考法2求互斥事件 对立事件的概率 例 四川2014 16 12分 一个盒子里装有三张卡片 分别标记有数字1 2 3 这三张卡片除标记的数字外完全相同 随机有放回地抽取3次 每次抽取1张 将抽取的卡片上的数字依次记为a b c 1 求 抽取的卡片上的数字满足a b c 的概率 解 1 由题意知 a b c 所有的可能为 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 3 1 1 3 2 1 3 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 3 1 3 3 2 3 3 3 共27种 设 抽取的卡片上的数字满足a b c 为事件a 则事件a包括 1 1 2 1 2 3 2 1 3 共3种 所以p a 3 27 1 9 因此 抽取的卡片上的数字满足a b c 的概率为1 9 考点60随机事件及其概率 考法2求互斥事件 对立事件的概率 例 四川2014 16 12分 一个盒子里装有三张卡片 分别标记有数字1 2 3 这三张卡片除标记的数字外完全相同 随机有放回地抽取3次 每次抽取1张 将抽取的卡片上的数字依次记为a b c 1 求 抽取的卡片上的数字满足a b c 的概率 2 求 抽取的卡片上的数字a b c不完全相同 的概率 解 2 设 抽取的卡片上的数字a b c不完全相同 为事件b 则事件包括 1 1 1 2 2 2 3 3 3 共3种 因此 抽取的卡片上的数字a b c不完全相同 的概率为8 9 考点60随机事件及其概率 600分基础考点 考法 考法3求古典概型的概率 考法4几何概型的概率计算 考点61古典概型与几何概型 1 基本事件的特点 2 古典概型 3 古典概型的概率公式 考点61古典概型与几何概型 1 任何两个基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型 简称古典概型 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能性相等 4 几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称几何概型 5 几何概型试验的两个基本特点 1 无限性 在一次试验中 可能出现的结果有无限多个 2 等可能性 每个结果的发生具有等可能性 6 几何概型的概率计算公式 考点61古典概型与几何概型 考法3求古典概型的概率 第一步 判断试验是否为古典概型 第二步 用列举法 列表法或树状图法将基本事件一一列出 求出基本事件的个数n 并在这些基本事件中找出题目要求的事件所包含的基本事件个数m 第三步 利用古典概型的概率计算公式计算 较为复杂的概率问题的处理方法有 1 转化为几个互斥事件的和 利用互斥事件概率的加法公式求解 2 采用间接法 先求事件a的对立事件的概率 再由对立事件的概率计算公式求求事件a的概率 若已知概率求参数 也可根据上述步骤列方程求解 考点61古典概型与几何概型 c 考法3求古典概型的概率 考点61古典概型与几何概型 山东2015 16 12分 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况 数据如下表 单位 人 1 从该班随机选1名同学 求该同学至少参加上述一个社团的概率 2 在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中 有5名男同学a1 a2 a3 a4 a5 3名女同学b1 b2 b3 现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人 求a1被选中且b1未被选中的概率 考法3求古典概型的概率 例5 解 1 由调查数据可知 既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人 故至少参加上述一个社团的共有45 30 15人 所以从该班随机选1名同学 该同学至少参加上述一个社团的概率为p 15 45 1 3 考点61古典概型与几何概型 考法3求古典概型的概率 解 2 从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人 其一切可能的结果组成的基本事件有 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a3 b1 a3 b2 a3 b3 a4 b1 a4 b2 a4 b3 a5 b1 a5 b2 a5 b3 共15个 根据题意 这些基本事件的出现是等可能的 事件 a1被选中且b1未被选中 所包含的基本事件有 a1 b2 a1 b3 共2个 因此 a1被选中且b1未被选中的概率为p 15 2 考点61古典概型与几何概型 山东2015 16 12分 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况 数据如下表 单位 人 1 从该班随机选1名同学 求该同学至少参加上述一个社团的概率 2 在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中 有5名男同学a1 a2 a3 a4 a5 3名女同学b1 b2 b3 现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人 求a1被选中且b1未被选中的概率 例5 考法4几何概型的概率计算 1 几何概型的类型及适用情况 1 线型几何概型 基本事件只受一个连续的变量控制的几何概型 2 面型几何概型 基本事件受两个连续的变量控制的几何概型 一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标 这样基本事件就构成了平面上的一个区域 即借助平面区域解决 2 解几何概型问题的步骤 第一步 明确概率模型为几何概型 确定样本空间和要求概率的事件所表示的图形 条件 第二步 将几何图形画出来 第三步 把样本空间和所求概率的事件所在的几何图形的度量 长度或面积 求出来 然后代入公式p a sa s 即可 此外 可以由以上步骤及已知的概率求参数或某个图形的几何度量 考点61古典概型与几何概型 考法4几何概型的概率计算 考点61古典概型与几何概型 b 考法4几何概型的概率计算 考点61古典概型与几何概型 700分综合考点 考法 考点62概率与统计等知识的综合应用 考法5概率与其他知识的综合应用 概率与统计的综合 第一步 根据所给的频率分布直方图 茎叶图等统计图表确定样本数据 均值等统计量 第二步 根据题意 一般选择由频率估计概率 确定相应的事件的概率 第三步 利用互斥事件 对立事件 古典概型等概率计算公式计算概率 考法5概率与其他知识的综合应用 26 概率与图象的综合 1 确定出几何概型中试验所表示的总体 有时需要先画出图形 利用图形的对称性 定积分等计算其几何度量 2 确定所求事件a所表示的区域并确定其几何度量 3 根据几何概型的概率公式计算概率 考点62概率与统计等知识的综合应用 考法5概率与其他知识的综合应用 天津2015 15 13分 设甲 乙 丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27 9 18 现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛 1 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数 2 将抽取的6名运动员进行编号 编号分别为a1 a2 a3 a4 a5 a6 现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛 用所给编号列出所有可能的结果 设a为事件 编号为a5和a6的两名运动员中至少有1人被抽到 求事件a发生的概率 例8 解 1 应从甲 乙 丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3 1 2 2 从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为 a1 a2 a1 a3 a1 a4 a1 a5 a1 a6 a2 a3 a2 a4 a2 a5 a2 a6 a3 a4 a3 a5 a3 a6 a4 a5 a4 a6 a5 a6 共15种 编号为a5和a6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为 a1 a5 a1 a6 a2 a5 a2 a6 a3 a5 a3 a6 a4 a5 a4 a6 a5 a6 共9种 因此 事件a发生的概率p a 9 15 3 5 考点62概率与统计等知识的综合应用 600分基础考点 考法 考点63抽样方法与总体分布的估计 第2节统计与统计案例 考点64变量间的相关关系与统计案例 600分基础考点 考法 考法1抽样方法 考法2用样本估计总体 考点63抽样方法与总体分布的估计 一 随机抽样 考点63抽样方法与总体分布的估计 二 用样本估计总体 1 用样本的频率分布估计总体的频率分布 1 频率分布直方图的理解 数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示 各小长方形的面积总和等于1 2 频率折线图和总体密度曲线 频率折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点 就得频率折线图 总体密度曲线 随着样本容量的增加 作图时所分组数增加 组距减小 相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线 即总体密度曲线 3 茎叶图的特点茎是指中间的一列数 叶是指从茎的旁边生长出来的数 考点63抽样方法与总体分布的估计 二 用样本估计总体 2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 2 样本方差与标准差 设样本的元素为x1 x2 xn 样本的平均数为 则 样本方差 样本标准差 3 关于平均数 方差的有关性质 若x1 x2 xn的平均数为 则mx1 a mx2 a mxn a的平均数为m a 若x1 x2 xn的方差为s2 标准差为s 则mx1 a mx2 a mxn a的方差为m2s2 标准差为ms 考点63抽样方法与总体分布的估计 1 三种抽样方法的选择 分层抽样 系统抽样 简单随机抽样 总体中个体之间的差异明显 并能据此将总体分为几层 无明显层次差异 希望被抽到的个体之间的间隔均等 总体中个体数不大 且希望被抽取的个体带有随机性 无固定间隔 如年龄 学段 性别 工种 考法1抽样方法 考点63抽样方法与总体分布的估计 考法1抽样方法 2 抽样方法中的计算问题 1 系统抽样中的计算问题 2 分层抽样中的计算问题 系统抽样中被抽取的个体相邻的两个样本编号的间距相等 据此 若要从容量为n的总体中抽取容量为m的样本时 确定抽样间距 若n m为整数 则抽样间距为n m 否则 一般先剔除几个个体 使得总体中剩余的个数能被样本容量整除 抽样间距一般为不大于n m的最大整数 据此在已知每层的抽样比 样本容量 总体数量中的两个时 就可以求出第三个 考点63抽样方法与总体分布的估计 c 考法1抽样方法 考法1抽样方法 考点63抽样方法与总体分布的估计 c 考法1抽样方法 考点63抽样方法与总体分布的估计 b 考法1抽样方法 考点63抽样方法与总体分布的估计 考法2用样本估计总体 类型1已知样本数据估计总体如果直接给出样本数据 根据平均数 中位数 众数 方差 标准差的概念进行相关计算得出相应数据 类型2利用频率分布直方图估计总体 1 频率 频率分布直方图中横轴表示组别 纵轴表示组距 频率 频率 组距 组距 频率 2 频率比 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1 因为在频率分布直方图中组距是一个固定值 所以各小长方形高的比也就是频率比 3 众数 最高小长方形底边中点的横坐标 4 中位数 平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标 5 平均数 频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和 6 性质应用 若纵轴上存在参数值 则根据所有小长方形的高之和 组距 1 列方程即可求得参数值 类型3利用茎叶图估计总体一般地 茎叶图中的数据常为两位数 茎叶图中 一位数的 茎 处为数字0 明确每一行中 茎 处数字是该行数字共用的十位数字 叶 处数字是个位数字 正确写出茎叶图中的所有数字 再根据平均数 中位数 众数 方差 标准差的概念进行相关计算 若茎叶图中数据为三位数或小数 也可参照上述方法类比处理问题 考点63抽样方法与总体分布的估计 考法2用样本估计总体 考点63抽样方法与总体分布的估计 d 考法2用样本估计总体 山东2016 3 5分 某高校调查了200名学生每周的自习时间 单位 小时 制成了如图所示的频率分布直方图 其中自习时间的范围是 17 5 30 样本数据分组为 17 5 20 20 22 5 22 5 25 25 27 5 27 5 30 根据直方图 这200名学生中每周的自习时间不少于22 5小时的人数是 例6 解析 由频率分布直方图知 自习时间不少于22 5小时的人数是200 0 16 0 08 0 04 2 5 140 a 56b 60c 120d 140 考点63抽样方法与总体分布的估计 d 考法2用样本估计总体 考点63抽样方法与总体分布的估计 600分基础考点 考法 考法3变量间的相关关系与统计案例 考点64变量间的相关关系与统计案例 1 两个变量线性相关 2 线性相关系数r 3 线性回归方程 4 独立性检验 考点64变量间的相关关系与统计案例 1 正相关 在散点图中 点散布在从左下角到右上角的区域 对于两个变量的这种相关关系 将它称为正相关 2 负相关 在散点图中 点散布在从左上角到右下角的区域 对于两个变量的这种相关关系 将它称为负相关 3 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 就称这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线叫做回归直线 1 两个变量线性相关 2 线性相关系数r 3 线性回归方程 4 独立性检验 注意 在求线性回归方程前务必判断两个变量的关系 可以根据两个变量的一组数据画出散点图 若点的分布大致在一条直线附近 则两变量具有线性相关关系 注意 在求线性回归方程前务必判断两个变量的关系 可以根据两个变量的一组数据画出散点图 若点的分布大致在一条直线附近 则两变量具有线性相关关系 考点64变量间的相关关系与统计案例 1 两个变量线性相关 2 线性相关系数r 3 线性回归方程 4 独立性检验 3 两个分类变量a和b是否有关联的判断方法 1 2 2列联表 设两个分类变量a b 每一个变量都可以取两个值 变量a a1 a2 变量b b1 b2 则2 2列联表如下 2 k2的计算公式 其中n a b c d 3 两个分类变量a和b是否有关联的判断方法 当k2 2 706时 没有充分的证据判定变量a b有关联 可以认为变量a b没有关联 当k2 2 706时 有90 的把握判定变量a b有关联 当k2 3 841时 有95 的把握判定变量a b有关联 当k2 6 635时 有99 的把握判定变量a b有关联 当k2 10 828时 有99 9 的把握判定变量a b有关联 考点64变量间的相关关系与统计案例 1 回归方程的求解与运用 2 相关系数的意义 3 独立性检验在实际问题中的应用 考法3变量间的相关关系与统计案例 1 对两个变量关系的判断 2 对非线性的问题 转化为线性回归问题 3 对变量值的预测 注意 线性回归直线一定经过样本点的中心 从数值上来判断变量间的线性相关性 由2 2列联表确定a b c d n的值 由k2的计算公式确定k2的值 确定有多大的把握判定两个变量有关联 判定两个变量具有线性相关关系 不含参 含参 直接将数值代入求得预测值 考点64变量间的