高考数学大一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第3节 空间点 直线 平面之间的位置关系课件 理.ppt

第3节空间点 直线 平面之间的位置关系 最新考纲 考点专项突破 知识链条完善 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 分别在两个平面内的直线就是异面直线吗 提示 不是 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线 指的是找不出一个平面同时经过这两条直线 分别在两个平面内的直线可以平行 异面或相交 2 空间直线与平面 平面与平面的位置关系有哪些 提示 直线与平面的位置关系有相交 平行 在平面内 平面与平面的位置关系有平行 相交 知识梳理 1 平面的基本性质及相关公 定 理 m n 相等或互补 2 空间中点 线 面之间的位置关系 3 异面直线所成的角 1 定义 已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 2 范围 拓展提升 经过平面内一点的直线 不在平面内 与平面内不经过该点的直线是异面直线 锐角 或直角 对点自测 1 2013 安徽卷 在下列命题中 不是公理的是 a 平行于同一个平面的两个平面相互平行 b 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 c 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 d 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 a 解析 依据面面平行的判定定理知 a项不是公理 故选a 2 若 aob a1o1b1 且oa o1a1 oa与o1a1的方向相同 则下列结论中正确的是 a ob o1b1且方向相同 b ob o1b1 c ob与o1b1不平行 d ob与o1b1不一定平行 d 解析 两角相等 角的一边平行且方向相同 另一边不一定平行 故选d 3 2016 江西七校联考 已知直线a和平面 l a a 且a在 内的射影分别为直线b和c 则直线b和c的位置关系是 a 相交或平行 b 相交或异面 c 平行或异面 d 相交 平行或异面 d 解析 依题意 直线b和c的位置关系可能是相交 平行或异面 选d 4 若直线a b 且直线a 平面 则直线b与平面 的位置关系是 a b b b c b 或b d b与 相交或b 或b d 解析 b与 相交或b 或b 都可以 选d 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 平面的基本性质及应用 例1 导学号18702351如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 证明 1 如图 连接ef cd1 a1b 因为e f分别是ab aa1的中点 所以ef a1b 又a1b cd1 所以ef cd1 所以e c d1 f四点共面 2 ce d1f da三线共点 证明 2 因为ef cd1 ef cd1 所以ce与d1f必相交 设交点为p 则由p ce ce 平面abcd 得p 平面abcd 同理p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 da 所以p 直线da 所以ce d1f da三线共点 反思归纳 1 点线共面问题的思路与方法 纳入平面法 先确定一个平面 再证有关点 线在此平面内 辅助平面法 先证有关点 线确定平面 再证其余点 线确定平面 最后证明平面 重合 2 多线共点问题的思路与方法 先证其中两条直线交于一点 再证交点在第三条直线上 证交点在第三条直线上时 第三条直线应为前两条直线所在平面的交线 可以利用公理3证明 1 证明 四边形bchg是平行四边形 2 c d f e四点是否共面 为什么 考点二 空间两直线的位置关系 例2 导学号18702352已知a b c为三条不重合的直线 已知下列结论 若a b a c 则b c 若a b a c 则b c 若a b b c 则a c 其中正确的个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 法一在空间中 若a b a c 则b c可能平行 也可能相交 还可能异面 所以 错 显然成立 法二构造长方体或正方体模型可快速判断 错 正确 故选b 1 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 常常利用线面垂直的性质来解决 2 解决位置关系问题时 要注意几何模型的选取 如利用正 长 方体模型来解决问题 反思归纳 解析 可用反证法 假设l与l1 l2都不相交 因为l与l1都在平面 内 于是l l1 同理l l2 于是l1 l2 与已知矛盾 故l至少与l1 l2中的一条相交 故选d 即时训练 若直线l1与l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 a l与l1 l2都不相交 b l与l1 l2都相交 c l至多与l1 l2中的一条相交 d l至少与l1 l2中的一条相交 考点三 异面直线所成的角 例3 2016 全国 卷 平面 过正方体abcd a1b1c1d1的顶点a 平面cb1d1 平面abcd m 平面abb1a1 n 则m n所成角的正弦值为 探求常规的异面直线所成角的问题 首先要理清求角的基本步骤为 一作 二证 三求 通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角 其中空间选点任意但要灵活 如常选择 端点 中点 等分点 通过三角形的中位线平行于底边 长方体对面上的平行线进行平移等 这是研究空间图形的一种基本思路 即把空间图形问题转化为平面图形问题 反思归纳 即时训练 导学号18702355已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面边长都相等 a1在底面abc上的射影为bc的中点 则异面直线ab与cc1所成角的余弦值为 备选例题 例1 2016 金丽衢十二校模拟 已知a b c为三条不同的直线 且a 平面 b 平面 c 若a与b是异面直线 则c至少与a b中的一条相交 若a不垂直于c 则a与b一定不垂直 若a b 则必有a c 若a b a c 则必有 其中正确的命题的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 中若a与b是异面直线 则c至少与a b中的一条相交 故 正确 中平面 平面 时 若b c 则b 平面 此时不论a c是否垂直 均有a b 故 错误 中当a b时 则a 平面 由线面平行的性质定理可得a c 故 正确 中若b c 则a b a c时 a与平面 不一定垂直 此时平面 与平面 也不一定垂直 故 错误 所以正确命题的个数是2 故选c 例2 2016 山东广饶一中期中 在正四棱锥v abcd中 底面正方形abcd的边长为1 侧棱长为2 则异面直线va与bd所成角的大小为 解析 如图 设ac bd o 连接vo 因为四棱锥v abcd是正四棱锥 所以vo 平面abcd 故bd vo 又四边形abcd是正方形 所以bd ac 又vo ac o 所以bd 平面vac 所以bd va 即异面直线va与bd所成角的大小为 答案 例3 如图所示 三棱锥p