优化方案高中数学 第二章 统计 2.1.3分层抽样学案 新人教A版必修3.docVIP

21.3分层抽样问题导航(1)什么叫分层抽样？(2)分层抽样适用于什么情况？(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？1分层抽样的概念一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样2分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法1判断下列各题(对的打“”，错的打“”)(1)系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样，故系统抽样就是一种特殊的分层抽样；()(2)在分层抽样时，每层可以不等可能抽样；()(3)在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层有关()解析：(1)因为分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取时是按事先定好的规则进行的，各层编号有联系，不是独立的，故系统抽样不同于分层抽样(2)分层抽样时，每层仍然要等可能抽样(3)与层数及分层无关答案：(1)(2)(3)2某地区为了解居民家庭生活状况，先把居民按所在行业分为几类，然后每个行业抽取的居民家庭进行调查，这种抽样是()a简单随机抽样b系统抽样c分层抽样 d分类抽样解析：选c.符合分层抽样的特点3一个班共有54人，其中男、女比为54，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为_，每个女同学被抽取的可能性为_解析：男、女每人被抽取的可能是相同的，因为男同学共有5430(人)，女同学共有5424(人)，所以每个男同学被抽取的可能性为，每个女同学被抽取的可能性为.答案：4分层抽样的操作步骤是什么？解：总体分层；按照比例独立抽取1分层抽样的特点(1)适用于总体由有明显差别的几部分组成的情况(2)抽取的样本更好地反映了总体的情况(3)是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是.2分层抽样的公平性如果总体中个体的总数是n，样本容量为n，第i层中个数为ni，则第i层中要抽取的个体数为nin.每一个个体被抽取的可能性是n，与层数无关所以对所有个体来说，被抽取的可能性是一样的，与层数及分层无关，所以分层抽样是公平的3分层抽样需注意的问题(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间的样本差异要大，且互不重叠(2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定(3)各层抽样按简单随机抽样或系统抽样进行分层抽样的概念某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是()a抽签法 b系统抽样c分层抽样 d随机数法解析各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据答案c方法归纳各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是灵活的，可用简单随机抽样，也可采用系统抽样分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会均等，体现了抽样的公平性1(1)某市有四所重点大学，为了解该市大学生的课外书籍阅读情况，则采用下列哪种方法抽取样本最合适(四所大学图书馆的藏书有一定的差距)()a抽签法 b随机数表法 c系统抽样法d分层抽样法解析：选d. 因为学校图书馆的藏书对学生课外书籍阅读影响比较大，因此采取分层抽样(2)某校高三年级有男生800人，女生600人，为了解该年级学生的身体健康情况，从男生中任意抽取40人，从女生中任意抽取30人进行调查这种抽样方法是()a简单随机抽样法 b抽签法c随机数表法 d分层抽样法解析：选d.总体中个体差异比较明显，且抽取的比例也符合分层抽样分层抽样的应用(2014高考湖北卷)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为_件解析设乙设备生产的产品总数为x件，则甲设备生产的产品总数为(4 800x)件由分层抽样特点，结合题意可得，解得x1 800.答案1 800互动探究将本例条件“若样本中有50件产品由甲设备生产”换为“已知甲、乙两套设备生产的同类型产品数量之比为53”，求样本中抽取的由甲、乙设备生产的数量分别是多少件？解：设样本中抽取的由甲、乙设备生产的数量分别是x，y件，则x8050，y8030.故样本中抽取的由甲、乙设备生产的数量分别是50，30件方法归纳在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即nininn.2(1)为了调查城市pm2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为()a3 b4c5 d6解析：选b.根据分层抽样的特点可知，抽样比例为，则应抽取的中型城市数为164.(2)一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，则应抽取超过45岁的职工_人解析：抽样比为2520018，而超过45岁的职工有80人，则从中应抽取的个体数为8010.答案：10三种抽样方法的考查选择合适的抽样方法抽样，并写出抽样过程(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样；(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样解(1)总体容量较小，用抽签法将30个篮球编号，编号为00，01，29.将以上30个编号分别写在完全一样的一张小纸条上，揉成小球，制成号签把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌均匀从袋子中逐个抽取10个号签，并记录上面的号码找出和所得号码对应的篮球即可得到样本(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样确定抽取个数因为，所以甲厂生产的应抽取7(个)，乙厂生产的应抽取3(个)用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个这些篮球便组成了我们要抽取的样本(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法将300个篮球用随机方式编号，编号为001，002，300.在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如(教材p103附表)第8行第29列的数“7”开始任选一个方向作为读数方向，比如向右读从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码(4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样将300个篮球用随机方式编号，编号为000，001，002，299，并分成30段，其中每一段包含10个个体在第一段000，001，002，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码将编号为002，012，022，292的个体抽出，即可组成所要求的样本. 方法归纳(1)简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用(2)三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系在应用时要根据实际情况选取合适的方法(3)三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的3(1)某饮料公司在华东、华南、华西、华北四个地区分别有200个、180个、180个、140个销售点公司为了调查产品销售的情况，需从这700个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在华南地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为.则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是()a分层抽样法、系统抽样法b分层抽样法、简单随机抽样法c系统抽样法、分层抽样法d简单随机抽样法、分层抽样法解析：选b. 当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用简单随机抽样依题意，第项调查应采用分层抽样法、第项调查应采用简单随机抽样法故选b.(2)调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，抽样方法是_，如果男女身高有显著不同(男生30人，女生20人)，抽样方法是_解析：从50名学生中抽取5名，总体中个体数不多，采用简单随机抽样；总体中个体差异比较明显，采用分层抽样答案：简单随机抽样分层抽样(3)下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本解：抽签法，因为总体容量较小，宜用抽签法分层抽样，由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，用分层抽样易错警示分层抽样的应用某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则样本容量为_解析总体容量n36.当样本容量为n时，系统抽样间隔为n，所以n是36的约数；分层抽样的抽样比为，求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为，所以n应是6的倍数，所以n6或12或18或36.当样本容量为n1时，总体中先剔除1人时还有35人，系统抽样间隔为n，所以n只能是6.答案6错因与防范由，n求n时，n的值有遗漏；n易错写成n.为获取各层入样数目，需先正确计算出抽样比k，若k与某层个体数的积不是整数时，可先将该层等可能性剔除多余个体4某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为()a30 b25c20 d15解析：选c.抽样比为15030 0001200，则样本中松树苗的数量为4 00020.故选c.1某大学共有学生5 600人，其中有专科生1 300人、本科生3 000人、研究生1 300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取()a65人、150人、65人 b30人、150人、100人c93人、94人、93人 d80人、120人、80人解析：选a.根据分层抽样按比例抽取的特点，有，解得xz65，y150，即专科生、本科生与研究生应分别抽取65、150、65，故选a.2某地共有10万户居民，从中随机调查了1 000户拥有彩电的调查结果如下表：彩电城市农村有432400无48120若该地区城市与农村住户之比为46，估计该地区无彩电的农村总户数约为()a0.923万户 b1.385万户c1.8万户 d1.2万户解析：选b.无彩电的农村总户数约为101.385万户3某工厂生产a、b、c三种不同型号的产品，产品数量之比依次为235，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中a种型号产品有16件，那么此样本的容量n_解析：由分层抽样的特点，得n16，所以n80.答案：804某校对全校男、女学生共1 200名进行健康调查，选用分层抽样抽取一个容量为200的样本，已知男生比女生多抽了10人，则该校男生人数为_解析：入样比例，则男生应抽105人，设男生为x人，所以x630.答案：630 a.基础达标1某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100的样本，记作；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是()a用简单随机抽样法；用系统抽样法b用分层抽样法；用简单随机抽样法c用系统抽样法；用分层抽样法d用分层抽样法；用系统抽样法解析：选b.对于，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的3部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样法对于，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是“平等”的，所以应采用简单随机抽样法2.已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为()a30b36c40 d无法确定解析：选b.分层抽样中抽样比一定相同，设样本容量为n，由题意得，解得n36.3(2014高考重庆卷)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()a100 b150c200 d250解析：选a.法一：由题意可得，解得n100，故选a.法二：由题意，抽样比为，总体容量为3 5001 5005 000，故n5 000100.4(2015中山高一检测)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为()a6 b8c10 d12解析：选b.设高二年级抽取x人，则有，解得x8，故选b.5.(2015潍坊高一检测)某学校在校学生2 000人，为了学生的“德、智、体”全面发展，学校举行了跑步和登山比赛活动，每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步人数abc登山人数xyz其中abc253，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参与跑步的学生中应抽取()a15人 b30人c40人 d45人解析：选d.全校参与登山的人数是2 000500，所以参与跑步的人数是1 500，应抽取200150，c15045(人)6某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取一个容量为50的样本，则应从高二年级抽取_名学生解析：抽取比例与学生比例一致设应从高二年级抽取x名学生，则x50310.解得x15.答案：157某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应该抽取_辆，_辆，_辆解析：因为，所以这三种型号的轿车依次应该抽取1 2006辆，6 00030辆，2 00010辆即这三种型号的轿车依次应该抽取6辆、30辆、10辆进行检验答案：6 30 108某地区有农民、工人、知识分子家庭共计2 015家，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户现要从中抽出容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法中的_(将你认为正确的选项的序号都填上)简单随机抽样；系统抽样；分层抽样解析：为了保证抽样的合理性，应对农民、工人、知识分子分层抽样，在各层中采用系统抽样和简单随机抽样，抽样时还要先用简单随机抽样剔除多余的个体答案：9(2015莱州高一检测)某校高一年级500名学生中，血型为o的有200人，血型为a的有125人，b型的有125人，ab型的有50人为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，应如何抽样？写出血型为ab型的抽样过程解：因为40500，所以应用分层抽样法抽取血型为o型的20016(人)，a型的12510(人)，b型的12510(人)，ab型的504(人)ab型的4人可以这样抽取：第一步，将50人随机编号，编号为1，2，50.第二步，把以上50人的编号分别写在大小相同的小纸片上，揉成小球，制成号签第三步，把得到的号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌均匀第四步，从袋子中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号第五步，根据所得编号找出对应的4人即可得到样本10.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数解：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a、b、c，则有47.5%，10%，解得b50%，c10%，故a100%50%10%40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为20040%60(人)；抽取的中年人人数为20050%75(人)；抽取的老年人人数为20010%15(人)即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60人，75人，15人b.能力提升1某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼各有80条、20条、40条、40条、20条，现从中抽取一个容量为20的样本进行质量检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的青鱼与鲤鱼共有()a6条 b8条 c10条 d12条解析：选a.设抽取的青鱼与鲤鱼共有x条，根据分层抽样的比例特点有，所以x6.2某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从810岁，1112岁，1314岁，1516岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在1112岁学生问卷中抽取60份，则在1516岁学生中抽取的问卷份数为()a60 b80c120 d180解析：选c.1112岁回收180份，其中在1112岁学生问卷中抽取60份，则抽样比为.从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，从810岁，1112岁，1314岁，1516岁四个年龄段回收的问卷总数为900(份)，则1516岁回收问卷份数为：x900120180240360(份)在1516岁学生中抽取的问卷份数为360120(份)，故选c.3某校高一年级有x名学生，高二年级有y名学生，高三年级有z名学生，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取10人，高三年级共有学生300人，则此学校共有学生_人解析：高三年级被抽取了45201015(人)，设此学校共有学生n人，则，解得n900.答案：9004(2015泰安质检)某企业三月中旬生产a，b，c三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类型abc产品数量(件)1 300样本容量130由于不小心，表格中a、c两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得a产品的样本容量比c产品的样本容量多10，根据以上信息，可得c产品的数量是_件解析：抽样比为1301 300110，又a产品的样本容量比c产品的样本容量多10，故c产品的数量是(3 0001 300)100800(件)答案：8005某校有在校高中生共1 600人，其中高一年级学生520人，高二年级学生500人，高三年级学生580人如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到不同年级学生的消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，问应采用怎样的抽样方法？高三年级学生中应抽查多少人？解：因不同年级的学生消费情况有明显差别，所以应采用分层抽样因为520500580262529，于是将80分成比例为262529的三部分设三部分各抽个体数分别为26x，25x，29x，由26x25x29x80，解得x1.所以高三年级学生中应抽查29人6(选做题)某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛为了解这次活动在全校师生中产生的影响，