高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.2 综合法和分析法课件 新人教B版选修45.ppt

1 5 2综合法和分析法 1 理解综合法 分析法证明不等式的原理和思想 2 掌握综合法 分析法证明简单不等式的方法和步骤 3 能综合运用综合法 分析法证明不等式 1 综合法在证明不等式的时候 我们经常要从命题的已知条件出发 利用公理 已知的定义及定理 逐步推导 从而最后导出要证明的命题 这种方法称为综合法 名师点拨用综合法证明不等式 就是用因果关系书写 从已知出发 借助不等式的性质和有关定理 经过逐步的逻辑推理 最后达到待证不等式得证 的全过程 其特点可描述为 由因导果 即从 已知 看 可知 逐步推向 未知 综合法属逻辑方法范畴 它的严谨体现在步步注明推理依据 答案 d 2 分析法从需要证明的命题出发 分析使这个命题成立的充分条件 利用已知的一些定理 逐步探索 最后达到命题所给出的条件 或者一个已证明过的定理或一个明显的事实 这种证明方法称为分析法 归纳总结 名师点拨用分析法证明 若a则b 的模式为 欲证命题b成立 只需证命题b1成立 只需证命题b2成立 只需证明a为真 已知a为真 故b必为真 可以简单写成 b b1 b2 bn a 做一做2 要证a2 b2 1 a2b2 0 只要证 解析 要证a2 b2 1 a2b2 0 只要证a2 1 b2 b2 1 0 只要证 b2 1 a2 1 0 答案 d 综合法在应用中的有关问题是什么 剖析 用综合法证明不等式时 主要利用基本不等式 函数的单调性以及不等式的性质 在严密的演绎推理下推导出结论 综合法证明问题的 入手处 是题设中的已知条件或某些基本不等式 比如下面的几个 是经常用到的 选择使用哪个不等式作为证题的 原始出发点 或对已知条件的转化是证题的关键 这要求对要证明的结果有充分的分析过程 可以联系平时学习过程中积累下来的数学结论或知识作出判断 比如 题型一 题型二 题型三 用综合法证明不等式 例1 设a b c为 abc的三条边 求证 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 分析 本题看似是一道与公式a2 b2 2ab a b r 有关的题目 又好像与二次函数有关 但实际上这两种思路都行不通 其实本题的关键在于 abc中隐含的a b c的关系 证明 证法一 在 abc中 a b c b a c c b a 则a2 a b c b2 b a c c2 c b a 于是a2 b2 c2 a b c b a c c a b 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 题型一 题型二 题型三 证法二 在 abc中 设a b c 则0 a b c 0 b c a 0 a c b a b 2 c2 b c 2 a2 a c 2 b2 a b 2 b c 2 a c 2 c2 a2 b2 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 证法三 在 abc中 设a b c三边所对的角分别为角a b c 则由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccosa b2 a2 c2 2accosb c2 a2 b2 2abcosc 则a2 b2 c2 b2 c2 2bccosa a2 c2 2accosb a2 b2 2abcosc 即a2 b2 c2 2abcosc 2bccosa 2accosb 在 abc中 cosa 1 cosb 1 cosc 1 2abcosc 2bccosa 2accosb 2ab 2bc 2ca a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 题型一 题型二 题型三 反思本题容易由a2 b2 2ab或二次函数陷入思维定式 比如下面两种分析 分析一 a2 b2 2ab a2 c2 2ac b2 c2 2bc a2 b2 b2 c2 a2 c2 2ab 2bc 2ac 即a2 b2 c2 ab bc ac 这严重背离了原题的证明意图 分析二 设f a a2 b2 c2 2 ab bc ac 即f a a2 2a b c b2 c2 2bc 4 b c 2 4 b2 c2 2bc 16bc 0 则f a 的值可正 可负 可为零 无法确定 因此 分析题目时 对条件要看清楚 尤其要探寻条件间的限制关系 以免受到某些思维定式的影响 题型一 题型二 题型三 用分析法证明不等式 分析 本题要证明的不等式显得较为复杂 不易观察出怎样由a b 0得到要证明的不等式 因而可以用分析法先变形要证明的不等式 从中找到证题的线索 题型一 题型二 题型三 反思分析法的格式是固定化的 其中每一步都是上一步成立的充分条件 即每一步数学式的变化都是在这个要求之下一步一步去寻找成立的条件或结论 定理 题型一 题型二 题型三 易错辨析易错点 因不注意分析法的证题格式而致错 错因分析 分析法是 执果索因 即由待证的不等式出发 逐步寻求它要成立的充分条件 所以书写时必须按照分析法的固有格式进行 本题的错误就在于未按分析法的格式证明 题型一 题型二 题型三 12345 a a bb a bc a bd a b 答案 c 12345 2若x y 1 0ay