新（全国甲卷）高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材4 数列、不等式课件 文.ppt

4 数列 不等式 第四篇回归教材 纠错例析 帮你减少高考失分点 栏目索引 要点回扣 1 等差数列及其性质 1 等差数列的判定 an 1 an d d为常数 或an 1 an an an 1 n 2 2 等差数列的性质 若公差d 0 则为递增等差数列 若公差d 0 则为递减等差数列 若公差d 0 则为常数列 当m n p q时 则有am an ap aq 特别地 当m n 2p时 则有am an 2ap sn s2n sn s3n s2n成等差数列 问题1 已知等差数列 an 的前n项和为sn 且s10 12 s20 17 则s30为 a 15b 20c 25d 30 2 等比数列及其性质 问题2 1 在等比数列 an 中 a3 a8 124 a4a7 512 公比q是整数 则a10 2 各项均为正数的等比数列 an 中 若a5 a6 9 则log3a1 log3a2 log3a10 答案 512 10 3 求数列通项的常见类型及方法 1 已知数列的前几项 求数列的通项公式 可采用归纳 猜想法 2 如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义 可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式 3 若已知数列的递推公式为an 1 an f n 可采用累加法 4 数列的递推公式为an 1 an f n 则采用累乘法 6 构造转化法 转化为等差或等比数列求通项公式 问题3 已知f x 是定义在r上不恒为零的函数 对于任意的x y r 都有f xy xf y yf x 成立 数列 an 满足an f 2n n n 且a1 2 则数列 an 的通项公式为an 解析答案 n 2n 4 数列求和的方法 1 公式法 等差数列 等比数列求和公式 2 分组求和法 3 倒序相加法 4 错位相减法 5 裂项法 6 并项法数列求和时要明确 项数 通项 并注意根据通项的特点选取合适的方法 答案 5 如何解含参数的一元二次不等式解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论 往往从以下几个方面来考虑 二次项系数 它决定二次函数的开口方向 判别式 它决定根的情形 一般分 0 0 0三种情况 在有根的条件下 要比较两根的大小 也是分大于 等于 小于三种情况 在解一元二次不等式时 一定要画出二次函数的图象 注意数形结合 问题5 解关于x的不等式ax2 a 1 x 10 当a 1时 不等式的解集为 解析答案 6 处理二次不等式恒成立的常用方法 1 结合二次函数的图象和性质用判别式法 当x的取值为全体实数时 一般应用此法 2 从函数的最值入手考虑 如大于零恒成立可转化最小值大于零 3 能分离变量的 尽量把参变量和变量分离出来 4 数形结合 结合图形进行分析 从整体上把握图形 问题6 如果kx2 2kx k 2 0恒成立 则实数k的取值范围是 a 1 k 0b 1 k 0c 1 k 0d 1 k 0 解析当k 0时 原不等式等价于 2 0 显然恒成立 所以k 0符合题意 当k 0时 由题意得 解得 1 k 0 所以 1 k 0 解析 7 利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行 即 一正 二定 三相等 常用技巧 1 对不能出现定值的式子进行适当配凑 2 对已知条件的最值可代入 常数代换法 或消元 3 当题中等号条件不成立 可考虑从函数的单调性入手求最值 解析 所以log4 3a 4b log4 ab 8 解决线性规划问题有三步 1 画 画出可行域 有图象 2 变 将目标函数变形 从中抽象出截距或斜率或距离 3 代 将合适的点代到原来目标函数中求最值 利用线性规划思想能解决的几类值域 最值 问题 1 截距型 如求z y x的取值范围 2 条件含参数型 4 距离型 圆半径平方型r2 如求 x a 2 x b 2的取值范围 a 3b 2c 2d 3 解析 返回 解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 若z ax y的最大值为4 则最优解为x 1 y 1或x 2 y 0 经检验知x 2 y 0符合题意 所以2a 0 4 此时a 2 返回 易错点1忽视等比数列中q的范围 例1设等比数列 an 的前n项和为sn 若s3 s6 s9 则数列 an 的公比q 易错警示 解析 易错分析 答案 1或 1 解析 当q 1时 s3 s6 9a1 s9 9a1 s3 s6 s9成立 当q 1时 由s3 s6 s9 q9 q6 q3 1 0 即 q3 1 q6 1 0 q 1 q3 1 0 q6 1 q 1 易错点2忽视分类讨论 易错分析要去掉 an 的绝对值符号 要考虑an的符号 对n不讨论或讨论不当容易导致错误 解析答案 易错分析 例2若等差数列 an 的首项a1 21 公差d 4 求 sn a1 a2 a3 an 解an 21 4 n 1 25 4n 当n 6时 sk a1 a2 an a1 a2 an 2n2 23n 当n 7时 a1 a2 a3 an a1 a2 a3 a6 a7 a8 an 2 a1 a2 a6 a1 a2 a6 a7 a8 an 2n2 23n 132 易错点3已知sn求an时忽略n 1 例3数列 an 的前n项和为sn a1 1 an 1 2sn n n 求数列 an 的通项an 易错分析an sn sn 1成立的条件是n 2 若忽略对n 1时的验证则出错 易错分析 解析答案 解因为an 1 2sn 因为s1 a1 1 所以数列 sn 是首项为1 公比为3的等比数列 sn 3n 1 n n 所以当n 2时 an 2sn 1 2 3n 2 n 2 易错点4数列最值问题忽略n的限制 易错分析 解析 易错分析求解数列 an 的前n项和sn的最值 无论是利用sn还是利用an来求 都要注意n的取值的限制 因为数列中可能出现零项 所以在利用不等式 组 求解时 不能漏掉不等式 组 中的等号 避免造成无解或漏解的失误 当n 7时 an 1 an 0 即an 1 an 当n 7时 an 1 an 0 即an 1 an 当n 7时 an 1 an 0 即an 1 an 故a1 a2 a7 a8 a9 a10 所以此数列的最大项是第7项或第8项 故选b 易错点5裂项法求和搞错剩余项 易错分析裂项相消后搞错剩余项 导致求和错误 一般情况下剩余的项是对称的 即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的 易错分析 解析 易错点6线性规划问题最优解判断错误 易错分析由ax y t 得y ax t 欲求t的最值 要看参数a的符号 忽视参数的符号变化 易导致最值错误 易错分析 例6p x y 满足 x y 1 求ax y的最大值及最小值 解析答案 解 当a1时 直线y ax t分别过点 1 0 与 1 0 时 ax y取得最大值与最小值 其值分别为a a 易错点7运用基本不等式忽视条件 返回 解析 易错分析 答案 易错分析应用基本不等式求函数最值 当等号成立的条件不成立时 往往考虑函数的性质 结合函数的单调性 同时注意函数的定义域 返回 1 等差数列 an 中 a3 a4 a5 12 那么 an 的前7项和s7等于 a 22b 24c 26d 28 1 2 3 4 查缺补漏 解析由已知得a4 4 s7 7a4 28 解析 5 6 7 8 9 10 10 12 2 在各项均为正数的等比数列 an 中 若am 1 am 1 2am m 2 数列 an 的前n项积为tn 若t2m 1 512 则m的值为 a 4b 5c 6d 7 解析因为 an 是正项等比数列 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以22m 1 512 29 m 5 11 12 3 数列 an 满足an 1 1 nan 2n 1 则 an 的前60项和为 a 3690b 3660c 1845d 1830 解析当n 2k时 a2k 1 a2k 4k 1 当n 2k 1时 a2k a2k 1 4k 3 所以a2k 1 a2k 1 2 所以a2k 1 a2k 3 2 所以a2k 1 a2k 3 所以a1 a5 a61 所以a1 a2 a3 a60 a2 a3 a4 a5 a60 a61 3 7 11 2 60 1 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a 83b 82c 81d 80 sn log31 log32 log32 log33 log3n log3 n 1 log3 n 1 4 解得n 34 1 80 故最小自然数n的值为81 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 5 令y 0 得x x1 x2 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 5 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 若关于x的不等式x2 mx 4 0在区间 1 4 上有解 则实数m的最小值是 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分 直线y kx 1显然经过定点m 0 1 由图形直接观察知 当直线y kx 1经过直线y x 1和直线x y 3的交点c 1 2 时 k最小 解析答案 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故n的最大值为19 19 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当1 k 2时 解集为x 1 k 2 当k 2时 解集为x 1 2 2 当k 2时 解集为x 1 2 k 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 已知数列 an 与 bn 满足an 1 an 2 bn 1 bn n n 1 若a1 1 bn 3n 5 求数列 an 的通项公式 解析答案 解 an 1 an 2 bn 1 bn bn 3n 5 an 1 an 6 an 是等差数列 an 的首项为a1 1 公差为6 an 6n 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若a1 6 bn 2n n n 且 an 2n n 2 对一切n n 恒