高考数学 简单几何体模块跟踪训练13.doc

2014高考数学模块跟踪训练简单几何体一、选择题(8540分)1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()a1 b. c. d.答案：d解析：kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，2ab2(1,1,0)(1,0,2)(3,2，2)(k1，k,2)(3,2，2)0，k，故选d.2已知点a(2,3，1)关于x轴的对称点a(，7，6)，则、的值为()a2，4，5 b2，4，5c2，10，8 d2，10，7答案：d解析：两个点关于x轴对称，那么这两个点的横坐标不变，而纵坐标和竖坐标均相差一个符号，也就是这两个点的纵坐标与竖坐标均互为相反数，故有2,7(3)，6(1)，所以2，10，7，应选d.3设点c(2a1，a1,2)在点p(2,0,0)、a(1，3,2)、b(8，1,4)确定的平面上，则a等于()a16 b4 c2 d8答案：a解析：(1，3,2)，(6，1,4)，根据共面向量定理，设xy(x，yr)则(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4)(x6y，3xy,2x4y)，解得x7，y4，a16.4已知a(2，5,1)、b(2，2,4)，c(1，4,1)，则向量与的夹角为()a30 b45 c60 d90答案：c解析：由已知得(0,3,3)，(1,1,0)所以cos，所以向量与的夹角为60，故选c.5(2009昆明质检)如图，已知正四棱柱abcda1b1c1d1的底面边长等于2，侧棱长等于，m是b1c1的中点，则直线ab1与直线cm所成角的余弦值为()a. b. c. d.答案：a解析：建立坐标系如图，则a(2,0,0)，b1(2,2，)，c(0,2,0)，m(1,2，)，(0,2，)，(1,0，)，cos、，故选a.6正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e、f分别为bb1、cd的中点，则点f到平面a1d1e的距离为()a. b. c. d.答案：c解析：取，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，并连结a1f，如图所示，则a1(0,0,1)，e(1,0，)，d(0,1,0)，f(，1,0)，d1(0,1,1)(1,0，)，(0,1,0)，设平面a1d1e的一个法向量为n(x，y，z)，则，即，令z2，则x1.平面a1d1e的一个法向量为n(1,0,2)又(，1，1)，点f到平面a1d1e的距离d.7(2009江西，9)如图所示，正四面体abcd的顶点a，b，c分别在两两垂直的三条射线ox，oy，oz上，则在下列命题中，错误的为()aoabc是正三棱锥b直线ob平面acdc直线ad与ob所成的角是45d二面角doba的为45答案：b解析：如图，abcd为正四面体，abc为等边三角形，又oa、ob、oc两两垂直oa面obc，oabc，过o作底面abc的垂线，垂足为n，连结an交bc于m，由三垂线定理可知bcam，m为bc的中点，同理可证，连结cn交ac于p，则p为ab中点，n为底面abc中心，oabc是正三棱锥，故a正确将正四面体abcd放入正方体中，如图所示，显然ob与面acd不平行，故选b.8平行六面体abcda1b1c1d1中，ab1，ad2，aa13，bad90，baa1daa160，则对角线a1c的长为()a. b.c. d.答案：c解析：由题意建立如图坐标系，作a1a2平面xay，由cosdaa1cosa1aa2cosdaa2，即cos60cos45cosa1aa2，得cosa1aa2.分析可得a1(，)，c(1,2,0)a1c，故选c.二、填空题(4520分)9在空间直角坐标系oxyz中，给定点p(2，1,3)，若点a与点p关于xoy平面对称，点b与点p关于z轴对称，则|ab|_.答案：2解析：依题意，得知a(2，1，3)，b(2,1,3)，则(4,2,6)，|ab|2.10(2009安徽，11)在空间直角坐标系中，已知点a(1,0,2)，b(1，3,1)，点m在y轴上，且m到a与到b的距离相等，则m的坐标是_答案：(0，1,0)解析：设m(0，y,0)，由|ma|mb|得(10)2(0y)2(20)2(10)2(3y)2(10)2，解得y1.m(0，1,0)11(2009台湾，11)如图所示，正方体abcdefgh的棱长等于2(即|a|2)，k为正方形abcd的中心，m、n分别为线段bf、ef的中点试问下列选项是正确的序号为_(1)；(2)1；(3)3；(4)kmn为一直角三角形；(5)kmn的面积为10.答案：(1)(4)解析：如图，建立空间直角坐标系exyz.(1，1，1，)，(2,0,0)(0,2,0)(0,0，2)(1，1，1)，(1，1，1)(2,0,0)21.(1，1，1)，|3.|，|，|2|2|2，kmn为直角三角形，kmn的面积为10.故选(1)(4)12设a，b是直线，是平面，a，b，向量a1在a上，向量b1在b上，a1(1,1,1)，b1(3,4,0)，则，所成二面角中较小的一个为_答案：arccos解析：由cosa1b1，所以，所成二面角中较小的一个为arccos.三、解答题(41040分)13(2009杭州名校联测)如图，正三棱锥pabc，pa4，ab2，d为bc中点，点e在ap上，满足ae3ep.(1)建立适当坐标系，写出a、b、d、e四点的坐标；(2)求异面直线ad与be所成的角解析：(1)建立如图坐标系：o为abc的重心，直线op为z轴，ad为y轴，x轴平行于cb，得a(0，0)、b(1，0)、d(0，0)、e(0，)(2)(0，0)，(1，)设ad与be所成的角为，则cos.arccos.14如图，pd垂直正方形abcd所在的平面，ab2，e是pb的中点，cos，.(1)建立适当的空间坐标系，写出点e的坐标；(2)在平面pad内求一点f，使ef平面pcb.解析：(1)以da、dc、dp所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，如图，得到坐标：a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，设p(0,0,2m)e(1,1，m)，(1,1，m)，(0,0,2m)，cos，m1，点e的坐标是(1,1,1)(2)f平面pad，可设f(x,0，z)(x1，1，z1)，ef平面pcb，(x1，1，z1)(2,0,0)0x1，(x1，1，z1)(0,2，2)0z0.点f的坐标是(1,0,0)，即点f是ad的中点15如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pd底面abcd，adpd，e、f分别为cd、pb的中点(1)求证：ef平面pab；(2)设abbc，求ac与平面aef所成的角的大小解析：解法一：(1)证明：连结ep，pd底面abcd，de在平面abcd内，pdde.又ceed，pdadbc.rtbcertpde.pebe.f为pb中点，efpb.由三垂线定理得paab，在rtpab中pfaf.又pebeea，efpefa.effa.pb、fa为平面pab内的相交直线，ef平面pab.(2)解：不妨设bc1，则adpd1，ab，pa，ac.pab为等腰直角三角形，且pb2，f为其斜边中点，bf1，且afpb.pb与平面aef内两条相交直线ef、af都垂直，pb平面aef.连结be交ac于g，作ghbp交ef于h，则gh平面aef，gah为ac与平面aef所成的角由egcbga，可知eggb，egeb，agac.由eghebf，可知ghbf.singah.ac与平面aef所成的角为arcsin.解法二：以d为坐标原点，da的长为单位长，建立如图所示的直角坐标系(1)证明：设e(a,0,0)，其中a0，则c(2a,0,0)，a，(0,1,0)，b(2a,1,0)，p(0,0,1)，f(a，)，(0，)，(2a,1，1)，(2a,0,0)0，efpb.0，efab.又pb平面pab，ab平面pab，pbabb，ef平面pab.(2)解：由abbc，得a.可得(，1,0)，(，1，1)，cos，异面直线ac、pb所成的角为arccos.(，)，0，pbaf.又pbef，ef、af为平面aef内两条相交直线，pb平面aef.ac与平面aef所成的角为arccos，即arcsin.16(2009山东，18)如图所示，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd为等腰梯形，abcd，ab4，bccd2，aa12，e、e1、f分别是棱ad、aa1、ab的中点(1)证明：直线ee1平面fcc1；(2)求二面角bfc1c的余弦值解析：(1)证法一：取a1b1的中点f1，连结ff1、c1f1，由于ff1bb1cc1，所以f1平面fcc1，因此平面fcc1即为平面c1cff1，连结a1d、f1c，由于a1f1綊d1c1綊cd，所以四边形a1dcf1为平行四边形，因此a1df1c.又ee1a1d，得ee1fc，而ee1平面fcc1，f1c平面fcc1，故ee1平面fcc1.证法二：因为f为ab的中点，cd2，ab4，abcd，所以cd綊af，因此四边形afcd为平行四边形，所以adfc.又cc1dd1，fccc1c，fc平面fcc1，cc1平面fcc1，所以平面add1a1平面fcc1，又ee1平面add1a1，所以ee1平面fcc1.(2)解法一：取fc的中点h，由于fcbcfb，所以bhfc.又bhcc1，所以bh平面fcc1.过h作hgc1f于g，连结bg.由于hgc1f，bh平面fcc1，所以c1f平面bhg，因此bgc1f，所以bgh为所求二面角的平面角在rtbhg中，bh，又fh1，且fcc1为等腰直角三角形，所以hg，bg，因此cosbgh，即所求二面角的余弦值为.