高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 第1课时 二元一次不等式（组）与平面区域课件 新人教A版必修5.ppt

3 3二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 3 3 1二元一次不等式 组 与平面区域 1 2 1 二元一次不等式 组 1 定义 含有两个未知数 且含有未知数的项的最高次数为1的不等式称为二元一次不等式 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组 2 解集 满足二元一次不等式 组 的x和y的取值构成有序数对 x y 称为二元一次不等式 组 的解 所有这样的有序数对 x y 构成的集合称为二元一次不等式 组 的解集 有序数对可以看成是直角坐标平面内点的坐标 于是 二元一次不等式 组 的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合 1 2 2 平面区域 1 定义 一般地 在平面直角坐标系中 二元一次不等式ax by c 0表示直线ax by c 0某一侧所有点组成的平面区域 直线ax by c 0称为这个平面区域的边界 这时 在平面直角坐标系中 把直线ax by c 0画成虚线 以表示不包括边界 而不等式ax by c 0表示的平面区域包括边界 把边界画成实线 2 判断方法 只需在直线ax by c 0的同一侧取某个特殊点 x0 y0 作为测试点 由ax0 by0 c的符号就可以断定ax by c 0表示的是直线ax by c 0哪一侧的平面区域 特别地 当c 0时 常取原点 0 0 作为测试点 当c 0时 常取 0 1 或 1 0 作为测试点 1 2 练一练1图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是 a x y 10c x y 10解析 先求边界直线方程得x y 1 0 当x y 0时 x y 1 10 答案 b 1 2 练一练2画出不等式组表示的平面区域 解 先画出直线x y 5 0 虚线 x 2y 3 0 实线 将原点 0 0 代入不等式x y 5 0 x 2y 3 0均适合 则原点既在不等式x y 5 0表示的平面区域内 又在不等式x 2y 3 0表示的平面区域内 图中的阴影部分即是不等式组所表示的平面区域 探究一 探究二 探究三 探究一二元一次不等式 组 表示的平面区域1 判定二元一次不等式表示的平面区域的常用方法是以线定界 以点定域 以ax by c 0为例 1 以线定界 即画二元一次方程ax by c 0表示的直线定边界 其中要注意直线是实线还是虚线 2 以点定域 由于在直线ax by c 0同侧的点 代数式ax by c的值的符号都相同 故为了确定ax by c的符号 可采用取特殊点的方法进行判断 如取原点等 探究一 探究二 探究三 2 二元一次不等式组表示的平面区域不等式组所表示的平面区域应是各个不等式所表示的平面区域的交集 即是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 画平面区域的步骤是 画线 画出不等式所对应的方程所表示的直线 注意边界的虚实 定侧 确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧 常用于验证的特殊点有 0 0 1 0 0 1 等 求交 如果平面区域是由不等式组决定的 那么先确定每个不等式表示的区域 然后再确定各区域的公共部分 探究一 探究二 探究三 典型例题1画出下列不等式 组 表示的平面区域 解 1 如图 先画出直线2x y 6 0 取原点o 0 0 代入2x y 6中 2 0 1 0 6 60表示的平面区域 因此2x y 6 0表示直线下方的区域 包含边界 探究一 探究二 探究三 2 先画出直线x y 5 0 实线 如图 取原点o 0 0 代入x y 5 0 0 5 5 0 原点在x y 5 0表示的平面区域内 即x y 5 0表示直线x y 5 0上及其右下方的点的集合 同理可得 x y 0表示直线x y 0上及其右上方的点的集合 x 3表示直线x 3上及其左方的点的集合 如图中阴影部分就是表示原不等式组的解集 探究一 探究二 探究三 变式训练1 画出不等式组表示的平面区域 解 不等式x y 5表示直线x y 5 0上及其左下方的区域 不等式x 2y 3表示直线x 2y 3 0右下方的区域 不等式x 2y 0表示直线x 2y 0上及其右上方的区域 所以不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 探究一 探究二 探究三 探究二不等式组表示平面区域的应用1 求参数的范围 可利用在直线ax by c 0同一侧的所有点 x y 的坐标代入ax by c的符号相同 在两侧的点 x y 的坐标代入ax by c的符号相反 求一些参数的取值范围 2 求二元一次不等式组所表示的平面区域的面积 先画出不等式组表示的平面区域 然后根据区域的形状求面积 若图形为规则图形 则直接利用面积公式求解 若图形为不规则图形 可采取分割的方法 将平面区域分为几个规则图形后再求解 探究一 探究二 探究三 典型例题2 1 图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为 探究一 探究二 探究三 2 在平面直角坐标系中 若点a 2 t 在直线x 2y 4 0的上方 则t的取值范围是 a 1 b 1 c 1 d 0 1 3 不等式组表示的平面区域的面积是 思路分析 1 先求出边界对应直线的方程 再用特殊点确定不等号 2 由x 2y 4 0求出当x 2时y的值 根据点a的位置求t的范围 3 先画出不等式组表示的平面区域 再求面积 探究一 探究二 探究三 解析 1 过点 0 1 1 0 的直线方程为x y 1 0 过点 0 1 2 0 的直线方程为x 2y 2 0 取原点o 0 0 检验 满足x y 11 故选b 探究一 探究二 探究三 3 作出不等式组表示的平面区域如图 abc 由条件知a 1 0 b 1 2 c 1 4 所以 d表示点a到直线bc的距离 答案 1 a 2 b 3 6 探究一 探究二 探究三 变式训练2 已知不等式组 1 画出不等式组表示的平面区域 2 求不等式所表示的平面区域的面积 3 求不等式所表示的平面区域内的整点坐标 探究一 探究二 探究三 解 1 不等式4x 3y 12表示直线4x 3y 12上及其左下方的点的集合 x 0表示直线x 0右方的所有点的集合 y 0表示直线y 0上方的所有点的集合 故不等式组表示的平面区域如图 中阴影部分所示 2 如图 不等式组表示的平面区域为直角三角形 其面积s 4 3 6 3 当x 1时 代入4x 3y 12 得y 整点为 1 1 1 2 当x 2时 代入4x 3y 12 得y 整点为 2 1 区域内整点共有3个 其坐标分别为 1 1 1 2 2 1 如图 探究一 探究二 探究三 探究三用二元一次不等式组表示实际问题用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时 1 先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示 2 将问题中所有的量都用这两个字母表示出来 3 由实际问题中有关的限制条件 或由问题中所有量均有实际意义 写出所有的不等式 4 把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来 探究一 探究二 探究三 典型例题3一工厂生产甲 乙两种产品 生产1t每种产品的资源需求如下表 该厂有工人200人 每天只能保证160kw h的用电额度 每天用煤不得超过150t 请在直角坐标系中画出每天甲 乙两种产品允许的产量的范围 思路分析 设分别生产甲 乙两种产品xt和yt 根据题意写出关于x y的不等式 组 然后画出不等式组表示的平面区域即可 探究一 探究二 探究三 解 设每天分别生产甲 乙两种产品xt和yt 生产xt甲产品和yt乙产品的用电量是 2x 8y kw h 根据条件 有2x 8y 160 用煤量为 3x 5y t 根据条件 有3x 5y 150 用工人数为 5x 2y 200 另外 还有x 0 y 0 综上所述 x y应满足不等式组甲 乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域 即如图的阴影部分 含边界 探究一 探究二 探究三 变式训练3 某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品 若采用甲种原料 每吨成本1000元 运费500元 若采用乙种原料 每吨成本1500元 运费400元 若每日预算总成本不得超过6000元 运费不得超过2000元 请你列出满足生产条件的数学关系式 并在直角坐标系上画出相应的平面区域 探究一 探究二 探究三 解 将已知数据列成下表 设工厂每日需用甲种原料x吨 乙种原料y吨 根据题意 有 12345 1 不等式组表示的平面区域是 解析 由0 3 0 6 0 0 0 2 0知 原点在x 3y 6 0表示的平面区域内 而不在x y 2 0表示的区域内 画出这两个平面区域 找出公共部分得b正确 答案 b 12345 2 下列二元一次不等式组中 能表示图中阴影部分的是 答案 c 12345 3 已知点m x0 y0 与点a 1 2 在直线l 3x 2y 8 0的两侧 则x0 y0满足的关系为 解析 点m x0 y0 与点a 1 2 在直线l的两侧 把点a 1 2 代入得3 1 2 2 8 10 即3x0 2y0 8 答案 3x0 2y0 8 4 在平面直角坐标系中 不等式组表示的平面区域的面积为 解析 不等式组表示的平面区域是三角形 如图 则该三角形的面积是 4 2 4 答案 4 12345 12345 5 某家具厂制造甲 乙两种型号的桌子 每张桌子需木工和漆工两道工序完成 已知