高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质（3）课件 新人教A版选修11.ppt

双曲线的简单几何性质 mf1 mf2 2a 2a f1f2 f c 0 f 0 c 复习 2 对称性 一 研究双曲线的简单几何性质 1 范围 关于x轴 y轴和原点都是对称 x轴 y轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心 又叫做双曲线的中心 x y x y x y x y 课堂新授 3 顶点 1 双曲线与对称轴的交点 叫做双曲线的顶点 m x y 4 渐近线 n x y 慢慢靠近 动画演示 5 离心率 离心率 c a 0 e 1 e是表示双曲线开口大小的一个量 e越大开口越大 1 定义 2 e的范围 3 e的含义 4 等轴双曲线的离心率e 5 1 范围 4 渐近线 5 离心率 小结 或 或 关于坐标轴和原点都对称 例3 求双曲线 的实半轴长 虚半轴长 焦点坐标 离心率 渐近线方程 解 把方程化为标准方程 可得 实半轴长a 4 虚半轴长b 3 半焦距c 焦点坐标是 0 5 0 5 离心率 渐近线方程 例题讲解 2 若双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为 3 若双曲线的离心率为2 则两条渐近线的交角为 练习 4 求下列双曲线的标准方程 法二 巧设方程 运用待定系数法 设双曲线方程为 法二 设双曲线方程为 双曲线方程为 解之得k 4 1 共渐近线 的双曲线的应用 0表示焦点在x轴上的双曲线 0表示焦点在y轴上的双曲线 2 共焦点 的双曲线 1 与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为 2 与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为 6 求与椭圆 有共同焦点 渐近线方程为 的双曲线方程 双曲线的渐近线方程为 解出 7 求以椭圆的焦点为顶点 以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程 椭圆与双曲线的比较 小结 a b 0 x a y b x a y r 对称轴 x轴 y轴对称中心 原点 对称轴 x轴 y轴对称中心 原点 a 0 a 0 0 b 0 b 长轴 2a短轴 2b a 0 a 0 实轴 2a虚轴 2b 无 2 3 2双曲线的性质 2 关于x轴 y轴 原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 a1 a 0 a2 a 0 b1 0 b b2 0 b f1 c 0 f2 c 0 关于x轴 y轴 原点对称 a1 a 0 a2 a 0 渐进线 无 关于x轴 y轴 原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 a1 a 0 a2 a 0 a1 0 a a2 0 a 关于x轴 y轴 原点对称 渐进线 f2 0 c f1 0 c 1 共渐近线 的双曲线 0表示焦点在x轴上的双曲线 0表示焦点在y轴上的双曲线 2 共焦点 的双曲线 1 与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为 2 与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为 复习练习 3 求以椭圆的焦点为顶点 以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程 例4 双曲线型自然通风塔的外形 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面 它的最小半径为12m 上口半径为13m 下口半径为25m 高55m 选择适当的坐标系 求出此双曲线的方程 精确到1m a a 0 x c c b b y 一 例题讲解 引例 点m x y 与定点f c 0 的距离和它到定直线的距离比是常数 c a 0 求点m的轨迹 解 设点m x y 到l的距离为d 则 即 化简得 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 设c2 a2 b2 a 0 b 0 故点m的轨迹为实轴 虚轴长分别为2a 2b的双曲线 b2x2 a2y2 a2b2 即 就可化为 点m的轨迹也包括双曲线的左支 二 第二定义 双曲线的第二定义 平面内 若定点f不在定直线l上 则到定点f的距离与到定直线l的距离比为常数e e 1 的点的轨迹是双曲线 定点f是双曲线的焦点 定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率 对于双曲线 是相应于右焦点f c 0 的右准线 类似于椭圆 是相应于左焦点f c 0 的左准线 点m到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义 想一想 中心在原点 焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的 相应于上焦点f c 0 的是上准线 相应于下焦点f c 0 的是下准线 例5 点m x y 与定点f 5 0 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 求点m的轨迹 练习1 由已知 解 a 4 b 3 c 5 双曲线的右准线为l 作mn l aa1 l 垂足分别是n a1 n a1 当且仅当m是aa1与双曲线的交点时取等号 令y 2 解得 归纳总结 1 双曲线的第二定义 平面内 若定点f不在定直线l上 则到定点f的距离与到定直线l的距离比为常数e e 1 的点的轨迹是双曲线 定点f是双曲线的焦点 定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率 2 双曲线的准线方程 对于双曲线 准线为 对于双曲线 准线为 注意 把双曲线和椭圆的知识相类比 椭圆与直线的位置关系及判断方法 判断方法 0 0 0 1 联立方程组 2 消去一个未知数 3 复习 相离 相切 相交 三 直线与双曲线的位置关系 1 位置关系种类 x y o 种类 相离 相切 相交 0个交点 一个交点 一个交点或两个交点 2 位置关系与交点个数 相离 0个交点 相交 一个交点 相交 两个交点 相切 一个交点 3 判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的渐进线平行 相交 一个交点 计算判别式 b2 a2k2 x2 2kma2x a2 m2 b2 0 1 二次项系数为0时 l与双曲线的渐近线平行或重合 重合 无交点 平行 有一个交点 2 二次项系数不为0时 上式为一元二次方程 相切一点 0 相离 0 注 相交两点 0同侧 0异侧 0一点 直线与渐进线平行 特别注意直线与双曲线的位置关系中 一解不一定相切 相交不一定两解 两解不一定同支 1 已知直线y kx 1与双曲线x2 y2 4 试讨论实数k的取值范围 使直线与双曲线 1 没有公共点 2 有两个公共点 3 只有一个公共点 4 交于异支两点 5 与左支交于两点 3 k 1 或k 4 1 k 1 1 k 或k 2 k 2 过点p 1 1 与双曲线 只有 共有 条 变题 将点p 1 1 改为1 a 3 4 2 b 3 0 3 c 4 0 4 d 0 0 答案又是怎样的 4 1 两条 2 三条 3 两条 4 零条 交点的 一个 直线 1 1 3 双曲线x2 y2 1的左焦点为f 点p为左支下半支上任意一点 异于顶点 则直线pf的斜率的变化范围是 例6 如图 过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于a b两点 求 ab 三 弦长问题 3 已知双曲线方程为3x2 y2 3 求 1 以2为斜率的弦的中点轨迹 2 过定点b 2 1 的弦的中点轨迹 3 以定点b 2 1 为中点的弦所在的直线方程 4 以定点 1 1 为中点的弦存在吗 说明理由 方程组无解 故满足条件的l不存在 分析 只需证明线段ab cd的中点重合即可 证明 1 若l有斜率 设l的方程为 y kx b 1 位置判定2 弦长公式3 中点问题4 垂直与对称5 设而不求 韦达定理 点差法 小结 拓展延伸 1 已知直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1相交于a b两点 1 当a为何值时 以ab为直径的圆过坐标原点 2 是否存在这样的实数a 使a b关于y 2x对称 若存在 求a 若不存在 说明理由 备选 垂直与对称问题 解 将y ax 1代入3x2 y2 1 又设方程的两根为x1 x2 a x1 y1 b x2 y2 得 3 a2 x2 2ax 2 0 它有两个实根 必须 0 原点o 0 0 在以ab为直径的圆上 oa ob 即x1x2 y1y2 0 即x1x2 ax1 1 ax2 1 0 a2 1 x1x2 a x1 x2 1 0 解得a 1 1 当a为何值时 以ab为直径的圆过坐标原点 2 是否存在这样的实数a 使a b关于y 2x对称 若存在 求a 若不存在 说明理由 k k 3 设双曲线c 与直线相交