9第七章组合变形杆件强度计算1.ppt

组合变形杆件的强度计算 第七章 7 1概述 构件发生两种或两种以上基本变形的组合 若几种变形所对应的应力 或变形 属于同一数量级 则构件的变形称为组合变形 组合变形的实例 在弹性 小变形范围内 几个因素共同作用所产生的结果 就等于各个因素分别作用所引起的结果的总和 叠加原理 计算组合变形杆件的应力和变形时 材料处在弹性范围内 且在小变形情况下 可将作用在杆上的荷载分解或简化成几组 也可直接求截面各内力分量 使杆在每组荷载 内力 作用下只产生一种基本变形 然后分别计算每一种基本变形下的应力和变形 最后 由叠加原理可得到杆在组合变形下的应力和变形 回顾杆件在基本变形时应力情况 拉伸和压缩 FN A 应力均匀分布 扭转 沿半径线性分布 弯曲 M Mz沿y方向线性分布 如果有M My作用 应力公式如何 应力又是怎么分布 常见的组合变形 斜弯曲 双向弯曲 拉伸 压缩 与弯曲组合 偏心压缩 拉伸 弯曲与扭转组合 组合变形的一般情况 为什么没有与剪切组合 7 2斜弯曲 双向弯曲 平面弯曲 对称截面 非对称截面 斜弯曲 1 外力通过弯曲中心 或形心 2 外力与杆件的形心主惯性平面不重合也不平行 3 梁变形后轴线不在形心主惯性平面内 非对称弯曲 一 内力 二 横截面上的正应力 横截面上任一点的应力计算公式 三 中性轴的位置 最大正应力和强度条件 中性轴上任一点 y0 z0 应满足 中性轴方程 过截面形心的直线 设中性轴与水平对称轴z的夹角为 则 注 当Iy Iz时 则 斜弯曲时 中性轴与外力作用线不垂直 当Iy Iz时 则 只发生平面弯曲 而不发生斜弯曲 对无凸角截面 如椭圆形 可按作图法确定最大正应力的点 对有凸角的截面 最大正应力必出现在角点处 圆截面如何处理 强度条件为 四 变形计算 自由端截面的形心c在xy平面和xz平面内的挠度分别为 设总挠度与y轴成 角 注 当Iz Iy时 wc与F作用方向不重合 但垂直于中性轴 当Iz Iy时 wc与F方向重合 例1屋架桁条 l 4m q 4kN m h 260mm b 140mm 25o 10MPa 校核其强度 解 例2截面为25a号工字钢的悬臂梁 受竖向均布荷载q 5kN m 自由端受水平集中力F 2kN作用 已知 E 2 06 105MPa 试求 1 梁的最大拉应力和最大压应力 2 固定端截面和l 2截面上的中性轴位置 3 自由端的挠度 解 1 固定端A B两点为危险点 25a工字钢 Iz 5023 54cm4 Wz 401 88cm3 Iy 280 046cm4 Wy 48 283cm3 107 7MPa 2 3 25a工字钢 Iz 5023 54cm4 Wz 401 88cm3 Iy 280 046cm4 Wy 48 283cm3 9 57mm 固定端截面 1 82 1 l 2截面 2 86 0 1 组合变形杆件的应力和变形计算的办法 2 斜弯曲 双向弯曲 对无凸角截面 如椭圆形 先写出任一点 y z 的应力计算公式 然后令其为零 得到中性轴的位置 最后按作图法确定最大正应力的点 对有凸角的截面 最大正应力必出现在角点处 对有圆截面 7 3拉伸 压缩 与弯曲的组合 当杆受轴向力F和横向力q共同作用时 杆将产生拉伸 压缩 和弯曲组合变形 对于弯曲刚度EI较大的杆 由横向力引起的弯曲变形与截面尺寸相比很小 因此 由轴向力在弯曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计 M FAx qx2 2 Fw 可分别计算由轴向力和横向力引起的正应力 由叠加原理进行叠加 在F作用下 FN A F A 在q作用下 M x y Iz x截面上A y z 的正应力为 F A M x y Iz 在F作用下 FN A F A 在q作用下 M x y Iz x截面上A y z 的正应力为 F A M x y Iz 中性轴方程 F A M x y0 Iz 0 危险截面为固定端截面 危险点为截面上 下边缘处各点 强度条件为 例3图示托架 F 45kN AC为22a工字钢 170MPa 试选择工字钢的型号 解 1 求AC所受反力 FBD 120kN FAy 15kN FBy 60kN FAx FBx 104kN 2 作AC内力图 强度条件 由弯曲正应力强度条件试算 22a工字钢 满足强度要求 7 4偏心压缩 拉伸 1 将F向形心简化 F My FzF Mz FyF 任一横截面上的内力都相同 任一横截面均为危险截面 当杆受到与其轴线平行但不与轴线重合的外力作用时 杆将产生偏心压缩 拉伸 2 横截面上的正应力及其分布 任一点的应力都是正应力 单向应力状态 i 惯性半径 3 中性轴位置 中性轴方程 4 强度计算 对于有凸角的截面 最大正应力必出现在角点处 对于无凸角的截面 最大正应力必出现在离中性轴最远的点 例9 4一端固定并有切槽的杆 试求最大正应力 解 梁发生拉伸弯曲组合变形 显然 切槽处的横截面为危险截面 F向该截面形心C处简化 FN F 10kN Mz 10 103 5 10 2 500Nm My 10 103 2 5 10 2 250Nm A点压应力最大 B点拉应力最大 例9 4图示钻床 已知 F 15kN 偏心距e 0 4m 容许拉应力 t 35MPa 求立柱直径d FN F 15kN M Fe 6kNm 经试算 d 122mm 7 5截面核心 截距ay az 随压力作用点yF zF变化 当压力作用点离截面形心越远 则中性轴离截面形心越近 当压力作用点离截面形心越近 则中性轴离截面形心越远 中性轴截距 随着压力作用点位置的变化 中性轴可能在截面以内 穿过截面 或与截面周边相切 或在截面以外 后两种情况下 横截面上就只产生压应力 在截面形心附近可以找到一个区域 当偏心压力作用在该区域内时 杆横截面上只产生一种性质的应力 压应力 这个区域称为截面核心 O 1 注 截面周边可以是凸的 凹的 空心的 但截面核心的形状一定是突的 实心的 常见截面的截面核心 例4 求图示矩形截面的截面核心 截面的对称轴y z就是形心主轴 以AB为中性轴 在y z轴上的截距分别为 同理 求得中性轴 与BC重合时 中性轴 与CD重合时 中性轴 与DA重合时 B点是中性轴 的公共点 过B点可作无数多条中性轴 将B点的坐标代入中性轴方程中 外力作用点由1沿截面核心边界移到2点时 yF zF 应满足以上方程 显然这是一个直线方程 1 2 同理 2 3 4点之间均由直线连接 其对角线长度分别为h 3和b 3 当轴向力作用在矩形截面对称轴上 且在 中三分点 以内时 截面上只产生一种应力状态 如混凝土的抗压性能比抗拉性能好得多 因此以上结论得到广泛应用 例5 求图示圆形截面的截面核心 圆形截面关于圆心对称 所以截面核心的边界也是一个圆 因此只需定核心边界的一个点 作A点的切线作为中性轴 它在y z轴上的截距为 得圆截面的核心是直径为d 4的圆 大致画出图示截面的截面核心的形状 7 6弯曲与扭转的组合 例6一钢质圆轴 直径d 8cm 其上装有直径D 1m 重为5kN的两个皮带轮 已知A轮上皮带拉力为水平方向 C处轮上的皮带拉力为竖直方向 设钢的 170MPa 试按第三强度理论校核该轴的强度 解 将轮上拉力及自重向轮上简化 如图 b 1 作内力图 c d e 2 由内力图可见 B C两截面为危险截面 b 危险点在何处 tan Mz My 7 7组合变形的一般情况 Fx 轴向力 拉或压 Fy Fz 剪力 忽略不计 Mx 扭矩My Mz 弯矩 圆截面 My Mz合成为M 例7图示圆杆 已知F1 200kN F2 5kN F3 5kN T 8kNm l 1m d 100mm 材料的容许应力 170MPa 试用第四强度理论校核强度 解 FN F1 200kN Mx T 8kNm Mymax F2 2l 10kNm Mzmax F3 l 5kNm 例图示圆轴 l 1m 直径d 100mm 容许应力 160MPa Fx 110kN Fy1 90kN Fy2 80kN 求 1 A B C D四点单元体的应力 2 用第三强度理论校