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文档简介
1. 1.3双曲线及其标准方程课前预习学案一、预习目标双曲线及其焦点,焦距的定义。双曲线的标准方程及其求法。双曲线中a,b,c的关系。双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。二、预习内容 双曲线的定义。 利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类比。 掌握a,b,c之间的关系。三、提出疑惑同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容 课内探究学案一、教学过程前面我们学习过椭圆,知道“平面内与两定点f1,f2的距离的和等于常数(大于f1f2 )的点的轨迹叫做椭圆”。下面我们来考虑这样一个问题?平面内与两定点f1,f2的距离差为常数的点的轨迹是什么?我们在平面上固定两个点f1,f2,平面上任意一点为m,假设|f1f2|=100,|mf1|mf2|且|mf1|mf2|=50不断变化|mf1|和|mf2|的长度,我们可以得出它的轨迹为一条曲线。若我们交换一下长度,|mf1|mf2|且|mf1|mf2|=50时 ,可知它的轨迹也是一条曲线那么由这个实验我们得出一个结论:“平面内两个定点f1,f2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。”但大家思考一下这个结论对不对呢?我们知道在椭圆定义里,到两定点的距离和为一个常数,这个常数(必须大于|f1f2|) 那么这里差的绝对值为一个常数,这个常数和|f1f2|有什么关系呢?下面我们来看一个试验,当|mf1|mf2|=0时,m点的轨迹为f1,f2的中垂线;随着|mf1|-|mf2|的不断变化 ,呈现出一系列不同形状的双曲线;当|f1f2|即和|f1f2|长度相等时,点的轨迹为以f1,f2 为端点的两条射线;若|mf1|-|mf2|100 时,就不存在点m。那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义:定义:平面内与两定点f1,f2的距离差的绝对值为非零常数(小于|f1f2|)的点的轨迹是双曲线。定点f1,f2叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的焦距。我们知道当一个椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上时,所表示椭圆的方程为标准方程。当焦点在x轴上时,;当焦点在y轴上时,那么双曲线方程是否也有标准方程呢?我们就来求一下看看:解:建立直角坐标系xoy,使x轴经过f1,f2,并且点o与线段f1f2的中点重合。如图所示:设m(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c0),那么,焦点f1,f2,的坐标是(c,0)(c,0)。又设点m与f1,f2,的距离的差的绝对值等于常数2a有定义可知,双曲线就是集合pm|mf1|mf2|=2a因为 |mf1|= |mf2|= 所以得2a 将方程化简,得(c2a2)x2ay2a2(c2a2)由双曲线的定义可知,2c2a,即ca,所以c2-a20令c2-a2=b2其中b0,代入上式,得b2x2a2y2=a2b2两边除以a2b2,得 (a0,b0)这个方程叫做双曲线标准方程。当焦点在y轴上时, f1(0,c) f2(0,c) (a0,b0)*观察双曲线的标准方程和椭圆标准方程,思考几个问题:1、焦点在哪个轴上如何判断? 2、方程中a,b,c 的关系怎样?(椭圆哪个二次项的分母大,焦点就在相应的那个坐标轴上,双曲线哪项为正焦点就落在相应的坐标轴上。)例1 求适合下列条件中的双曲线的标准方程:1 a=3,b=4焦点在y轴上,解:因为焦点在y轴上所以所求方程为2 a=5,b=7,分析:焦点不知在哪个轴上,分情况分析解:当焦点在x轴上时当焦点在y轴上时3两焦点为f1(5,0),f2(5,0) 双曲线上的点到它们的距离之差绝对值为8练习1:求适合下列条件的双曲线的标准方程:1、a=4,b=6,焦点在x轴解:由b2=c2a2=6242=20 又因为焦点在x轴上所以所求方程为:2、c=10,b=7焦点在y轴上解:由a2=c2b2=10272=51又因为焦点在y轴上,所求方程为:例2:求下列双曲线的焦点坐标:1、 解:a2=36,b2=64c2=36+64=100,c=10又因为焦点在x轴上,所求焦点坐标为(10,0),(10,0)。2、解:化标准方程为:a2=1,b2=8,又因为焦点在y轴上,所求焦点坐标为(0,3),(0,3)。3、9y2-4x2=36解:化标准方程为:所以a24,b29。由从c2a2+b2=4+9=13。又因为焦点在y轴上; 所求焦点坐标为(0,)和(0,)。 例3:双曲线的焦点与椭圆的焦点有什么关系?解:双曲线中a2=1,b2=15,由c2=a2+b2得c=4所以 双曲线的两个焦点坐标为(4,0)和(-4,0)椭圆中a2=25,b2=9由c2=a2+b2=259=16得所以椭圆的两个焦点坐标也是(4,0)和(4,0)。它们的焦点相同.思考题:1已知曲线的方程为(1) 若c为椭圆,求m的取值范围,并求椭圆的焦点 。 (m4)(2) 若c为又曲线,求m的取值范围,并求双曲线的焦点 。 (3m4)2已知双曲线的方程为,讨论c曲线的形状6m4时,为椭圆,(m1焦点在x轴,m1焦点在y轴) m1时为圆m4或m6时,为双曲线;( m4焦点在x轴,m6焦点在y轴) 小结:1定义:平面内与两定点f1,f2的距离的差的绝对值等于常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线.2双曲线的标准方程为:焦点在x轴时, (a0,b0)叫焦点坐标f1(c,0)f2(c,0)。焦点在y轴时, (a0,b0)焦点坐标f1(0,-c),f2(0,c)3注意双曲线与椭圆的区别与联系椭圆双曲线|mf1|mf2|=2a|mf1|mf2|=aa2=b2+c2c2=a2+b2 (ab0) (a0,b0)a
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