高考数学总复习 第7章不等式单元检测 新人教A版.doc

第七章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分每小题中只有一项符合题目要求)1函数f(x)的定义域是()a.b.c. d.答案d解析由题意，得解此不等式组，得.故选d.2已知c2c bc()cc2c()c d2c0时，当x0时，x2，当且仅当x即x取等号若使f(x)在(1，e)上为单调函数，则1或e，0b1或be2.综上b的取值范围是b1或be2，故选a.4观察下列各式：7249,73343,742 401，则72 013的末位数字是()a1 b3c7 d9答案c解析规律：71的末位为7,72末位为9,73的末位为3,74末位为1,75的末位为7，的末位为7,9,3,1,7,9,3,1，而2 01345031，2 013的末位是7.5将正奇数1,3,5,7，排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是()a第一列 b第二列c第三列 d第四列答案d解析正奇数从小到大排，则89位居第45位，而454111，故89位于第四列6若f(x)是偶函数，且当x0，)时，f(x)x1，则不等式f(x21)0的解集为()a(1,0) b(，0)(0，)c(0,2) d(1,2)答案b解析根据f(x)是偶函数，可得f(x)f(|x|)|x|1.因此f(x21)|x21|1.解不等式|x21|10，得0x20且1，即0a3时，恒有axy3成立；当a0时，y3成立；当a0时，恒有axy3成立综上可知，a3.8(2012浙江)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()a. b.c5 d6答案c解析x3y5xy，1.3x4y(3x4y)1(3x4y)()25，当且仅当，即x1，y时等号成立9图1是一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上分别长出一个小正方形，如图2，且三个正方形围成的三角形(含30锐角的)是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成图3，“生长”10次后，变成图4，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”，那么n次“生长”后，所得图形中所有正方形的面积和为()an bn1cn2 d2n答案b解析根据勾股定理以及正方形的面积公式并结合解题探究可知，经过n次“生长”后，所得图形中所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的(n1)倍，即为n1.故选b.10. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在p处有一棵树与两墙的距离分别是a米(0a12)、4米，不考虑树的粗细现在想用16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃abcd.设此矩形花圃的面积为s平方米，s的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数uf(a)的图像大致是()答案c解析设adx，sx(16x)()264.当且仅当x8时成立树围在花圃内，0a8时，x8能满足条件，即f(a)64.当8a0的解集是x|x4，则实数a、b的值分别为_答案4,112已知正实数x，y满足xy1，则(y)(x)的最小值为_答案4解析依题意知，(y)(x)11224，当且仅当xy1时取等号13已知cos；coscos；coscoscos；根据以上等式，可猜想出的一般结论是_答案coscoscos，nn*解析从已知等式的左边来看，余弦的个数从1逐个增加，分子上从开始也是逐个增加，分母分别是3,5,7，可以看出分母的通项为2n1，等式的右边是通项为的等比数列，由以上分析可以猜想出的结论为coscoscos，nn*.14(2012福建)若函数y2x图像上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为_答案1解析由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线xm经过函数y2x的图像与直线xy30的交点p时取得最大值，即得2x3x，即x1m.15a，b都为正实数，且1，则的最大值为_答案解析依题意得(1)()2()2的最大值是(当0，即，时取得最大值)16从等腰直角三角形纸片abc上，剪下如图所示的两个正方形，其中bc2，a90，则这两个正方形的面积之和的最小值为_答案解析设两个正方形边长分别为a，b，则由题可得ab1，且a，b，sa2b22()2，当且仅当ab时取等号三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知(1，cosx)，(cosx,1)，x，记f(x)cos.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求cos的取值范围答案(1)f(x)(2)cos1解析(1)(1，cosx)，(cosx,1)，2cosx，|1cos2x.f(x)cos.(2)x，f(x)cos，cosx，12cosx，f(x)1，即cos1.18(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2r，a1a21，求证：aa.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2，因为对一切xr，恒有f(x)0，所以48(aa)0，从而得aa，(1)若a1，a2，anr，a1a2an1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明解析(1)若a1，a2，anr，a1a2an1，求证：aaa.(2)构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)xaaanx22xaaa，因为对一切xr，都有f(x)0，所以44n(aaa)0，从而证得：aaa.19(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2b(a，br)(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当x(0,1时，yf(x)图像上任意一点处的切线的倾斜角为，且0，求a的取值范围答案(1)a3(2)a解析(1)f(x)3x22ax，要使f(x)在(0,2)上单调递增，则f(x)0在(0,2)上恒成立f(x)是开口向下的抛物线，a3.(2)0，tan3x22ax0,1根据题意03x22ax1在(0,1上恒成立，由3x22ax0，得ax，a.由3x22ax1，得ax.又x(当且仅当x时取“”)，a.综上，a的取值范围是a.20(本小题满分12分)等差数列an的前n项和为sn，a11，s393.(1)求数列an的通项an与前n项和sn；(2)设bn(nn*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解析(1)由已知得d2.故an2n1，snn(n)(2)由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq、br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rn*，()2pr，(pr)20，pr，与pr矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列21(本小题满分12分)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n).若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解析(1)第n次投入后，产量为10n万件，销售价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n万元，所以，年利润为f(n)(10n)(100)100n(nn*)(2)由(1)知f(n)(10n)(100)100n1 00080()520(万元)当且仅当，即n8时，利润最高，最高利润为520万元答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元22(本小题满分12分)已知函数f(x)ln(x1).(1)若函数f(x)在0，)内为增函数，求正实数a的取值范围；(2)当a1时，求f(x)在，1上的最大值和最小值；(3)试利用(1)的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有0)函数f(x)在0，)内为增函数，f(x)0对任意x0，)恒成立a(x1)10对任意x0，)恒成立，即a对任意x0，)恒成立而当x0，)时，()max1，a1.(2)当a1时，f(x).当x，0)时，f(x)0，f(x)在(0,1上单调递增f(x)在，1上有唯一极小值点故f(x)minf(0)0.又f()1ln1ln2，f(1)ln2，f()f(1)2ln2 .e316，f()f(1)0，即f()f(1)f(x)在，1上的最大值为f()1ln2.综上，函数f(x)在，1上的最大值是1ln2，最小值是 0.(3)法一：用数学归纳法当n2时，要证1，显然成立假设当nk时，不等式1，kn*)成立则当nk1时，lnk.要证lnkln(k1)成立，只要证ln，即0，则上式化为0)只要证：ln(1x)0(*)由(1)知，当a1时，f(x)ln(1x)在0，)内是增函数故有f(x)f(0)，即ln(1x)，x0，)成立而(*)中x(k1，kn*)，x0，ln(1x)0，即(*)式成立当nk1时，不等式成立由知对任意n1的正整数不等式都成立法二：由(1)知，当a1时，f(x)ln(1x)在0，)上是增函数故有f(x)f(0)，即ln(1x)，x0，)成立令x(nn*)，则x0.有ln(1x)，即ln.由此得ln，ln，ln，ln，则lnlnlnln，即得lnn.故对大于1的任意正整数n，都有lnn.1若aa(0.2)ab(0.2)aa2ac.a(0.2)a2a d2a(0.2)aa答案b解析a0，yxa在(0，)为减函数，()aabcba2b2c2abbcacca2b2c22(abbcac)答案c解析c2a2b22abcosc，b2a2c22accosb，a2b2c22bccosa，a2b2c22(a2b2c2)2(abcoscaccosbbccosa)a2b2c22(abcoscaccosbbccosa)2，f(8)，f(16)3，f(32)，则有_答案f(2n)(n2，nn*)解析由题意f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n).故填f(2n)(n2，nn*)7若数列an的通项公式an，记f(n)2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测f(n)_.答案解析方法一由题意，得f(1)2(1a1)21，f(2)f(1)(1a2)(1)，f(3)f(2)(1a3)(1)，由此归纳得f(n).方法二事实上，由题意，得f(n)2(1)(1)12(1)(1)(1)(1)(1)(1)2.8若不等式|a1|x|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案1a3解析|a1|2，即1a3.9已知x，y满足且目标函数3xy的最大值为7，最小值为1，则_.答案解析分别作出直线x1，xy4,3xy7,3xy1，联立与求出(，)与(1，2)，知两点在直线axbyc0上，得ca，ba.abca，.10设函数f(x)x22lnx，f(x)表示f(x)的导函数，试证明：对任意正数a和正整数n，不等式f(a)n2n1f(an)2n(2n2)恒成立解析问题即证：2n(a)n2n12(an)2n(2n2)，也即证：(a)n(an)2n2.用数学归纳法证明：()当n1时，左0，右0，显然不等式成立；()假设nk(k1)时，原不等式成立，即(a)k(ak) 2k2，则nk1时，(a)k1(ak1)(a)k(a)(ak1)(2k2)ak(a)(ak1)(2k2)(a)(ak1)(2k2)222k12.这就是说，nk1时原不等式也成立综上所述：对任意正数a和正整数n，f(a)n2n1f(an)2n(2n2)恒成立11某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归