高考数学总复习 课时作业45 新人教版.doc

课时作业(45)1已知实数x，y满足1(a0，b0)，则下列不等式中恒成立的是()a|y|x|c|y|xdy0，b0)，其图像为双曲线，当x0时，yx；当x0时，yx，则y|x|，也有y0为常数，动点m(x，y)(y0)分别与两定点f1(a,0)，f2(a,0)的连线的斜率之积为定值，若点m的轨迹是离心率为的双曲线，则的值为()a2b2c3d.答案a解析轨迹方程为，整理得1(0)，c2a2(1)，13，2，故选a.3已知椭圆1(ab0)上任意两点p，q使opoq，求证：为定值解析当op，oq两直线中有一斜率不存在或为零时，则|op|、|oq|为半长轴长和半短轴长，则有(定值)当op、oq两直线的斜率都存在时，则两斜率均不为零设直线op的方程为ykx，p(x1，y1)，q(x2，y2)，直线oq的方程为yx.联立方程组解之，得x，y.于是|op|2xy.同理可得|oq|2. (定值)4如图，已知椭圆1(ab0)长轴长为4，离心率为.过点(0，2)的直线l交椭圆于a，b两点、交x轴于p点，点a关于x轴的对称点为c，直线bc交x轴于q点(1)求椭圆方程；(2)探究：|op|oq|是否为常数？解析(1)由题意得解得a2，b，c1，所以椭圆方程为1.(2)直线l方程为ykx2，则p的坐标为(，0)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则c(x1，y1)，直线bc方程为，令y0，得q的横坐标为x.又得(34k2)x216kx40.得代入得x2k，得|op|oq|xpxq|2k4.|op|oq|为常数4.5已知点b(1,0)，c(1,0)，p是平面上一动点，且满足|.(1)求点p的轨迹c对应的方程；(2)已知点a(m,2)在曲线c上，过点a作曲线c的两条弦ad和ae，且adae，判断：直线de是否过定点？试证明你的结论解析(1)设p(x，y)代入|得1x，化简得y24x.(2)将a(m,2)代入y24x，得m1.点a的坐标为(1,2)设直线de的方程为xmyt代入y24x，得y24my4t0.设d(x1，y1)，e(x2，y2)，则y1y24m，y1y24t，(4m)216t0.(*)(x11)(x21)(y12)(y22)x1x2(x1x2)1y1y22(y1y2)4()y1y22(y1y2)5y1y22(y1y2)5(4t)2(4m)50.化简t26t54m28m，即t26t94m28m4，即(t3)24(m1)2，t32(m1)t2m5或t2m1，代入(*)式检验均满足0.直线de的方程为xm(y2)5或xm(y2)1.直线de过定点(5，2)(定点(1,2)不满足题意)6如图，已知椭圆1的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点f1，f2为顶点的三角形的周长为4(1)一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设p为该双曲线上异于顶点的任一点，直线pf1和pf2与椭圆的交点分别为a、b和c、d.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线pf1、pf2的斜率分别为k1、k2，证明k1k21；(3)是否存在常数，使得|ab|cd|ab|cd|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解析(1)由题意知，椭圆离心率为，得ac，又2a2c4(1)，所以可解得a2，c2，所以b2a2c24，所以椭圆的标准方程为1，所以椭圆的焦点坐标为(2,0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为1.(2)设点p(x0，y0)，则k1，k2，所以k1k2，又点p(x0，y0)在双曲线上，所以有1，即yx4，所以k1k21.(3)假设存在常数，使得|ab|cd|ab|cd|恒成立，则由(2)知k1k21，所以设直线ab的方程为yk(x2)，则直线cd的方程为y(x2)由方程组消去y得(2k21)x28k2x8k280，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则由韦达定理得x1x2，x1x2.所以|ab|.同理可得|cd|.又因为|ab|cd|ab|cd|，所以有.所以存在常数，使得|ab|cd|ab|cd|恒成立7(2012福建)如图，等边三角形oab的边长为8，且其三个顶点均在抛物线e：x22py(p0)上(1)求抛物线e的方程；(2)设动直线l与抛物线e相切于点p，与直线y1相交于点q，证明以pq以直径的圆恒过y轴上某定点解析(1)依题意，|ob|8，boy30.设b(x，y)，则x|ob|sin304，y|ob|cos3012.因为点b(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线e的方程为x24y.(2)方法一由(1)知yx2，yx.设p(x0，y0)，则x00，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以q(，1)设m(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，(，1y1)，由0，得y0y0y1y1y0.即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m(0,1)方法二由(1)知yx2，yx.设p(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以q(，1)取x02，此时p(2,1)，q(0，1)，以pq为直径的圆为(x1)2y22，交y轴于m1(0,1)或m2(0，1)；取x01，此时p(1，)，q(，1)，以pq为直径的圆为(x)2(y)2，交y轴于m3(0,1)或m4(0，)故若满足条件的点m存在，只能是m(0,1)以下证明点m(0,1)就是所要求的点因为(x0，y01)，(，2)，所以2y022y022y020.故以pq为直径的圆恒过y轴上的定义m(0,1)8已知椭圆c：1(ab0)经过点p(1，)，左、右焦点分别为f1、f2，上顶点为m，且f1f2m为等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：mxnyn0(m，nr)交椭圆c于a，b两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点t，使得以ab为直径的圆恒过点t？若存在，求出点t的坐标；若不存在，请说明理由解析(1)f1f2m为等腰直角三角形，cb，ab，椭圆c的方程为1.又椭圆c经过点p(1，)，代入可得b1.a，故所求的椭圆方程为y21.(2)显然直线l过点(0，)当l与x轴平行时，易知直线l的方程为y，代入椭圆c的方程得x.以ab为直径的圆的方程为x2(y)2()2；当l与x轴垂直时，易知a，b是椭圆的短轴的两端点，以ab为直径的圆的方程为x2y21.由解得即两圆相切于点(0,1)因此，所求的点t如果存在，只能是(0,1)事实上，点t(0,1)就是所求的点证明如下：当直线l垂直于x轴时，以ab为直径的圆过点t(0,1)，当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为ykx，由消去y，得(18k29)x212kx160.设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)x1x2(kx1)(kx2)(1k2)x1x2k(x1x2)(1k2)k0.tatb，即以ab为直径的圆恒过点t(0,1)在坐标平面上存在一个定点t(0,1)满足条件1在平面直角坐标系xoy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点p和q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为a、b，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解析(1)由已知条件，直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21，整理得(k2)x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点p和q等价于8k24(k2)4k220，解得k.即k的取值范围为(，)(，)(2)设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)由方程得，x1x2.又y1y2k(x1x2)2，而a(，0)，b(0,1)，(，1)所以与共线等价于x1x2(y1y2)将代入上式，解得k.由(1)知k，故没有符合题意的常数k.2(2012湖南理)在直角坐标系xoy中，曲线c1上的点均在圆c2：(x5)2y29外，且对c1上任意一点m，m到直线x2的距离等于该点与圆c2上点的距离的最小值(1)求曲线c1的方程；(2)设p(x0，y0)(y03)为圆c2外一点，过p作圆c2的两条切线，分别与曲线c1相交于点a，b和c，d.证明：当p在直线x4上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值解析(1)方法一设m的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆c2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以x5.化简得曲线c1的方程为y220x.方法二由题设知，曲线c1上任意一点m到圆心c2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离因此，曲线c1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线故其方程为y220x.(2)当点p在直线x4上运动时，p的坐标为(4，y0)，又y03，则过p且与圆c2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0，于是3.整理得72k218y