高考数学总复习 课时作业41 新人教版.docVIP

课时作业(41)1与直线4xy30平行的抛物线y2x2的切线方程是()a4xy10b4xy10c4xy20d4xy20答案c解析y4x4，x1，y2，过(1,2)斜率为4的直线为y24(x1)，即4xy20.2(2013石家庄质检)已知抛物线y22px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于a、b两点，若|ab|10，p为抛物线的准线上一点，则abp的面积为()a20b25c30d50答案b解析本题主要考查直线与抛物线的位置关系、通径的概念、抛物线的简单几何性质属于基础知识、基本运算的考查抛物线y22px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于a、b两点，则|ab|2p，|ab|10，所以抛物线方程为y210x，p为抛物线的准线上一点，p到直线ab的距离为p5，则abp的面积为10525.3设o为坐标原点，f为抛物线y24x的焦点，a为抛物线上一点，若4，则点a的坐标为()a(2，2)b(1，2)c(1,2)d(2,2)答案b解析设a(x0，y0)，f(1,0)，(x0，y0)，(1x0，y0)，x0(1x0)y4.y4x0，x0x4x040x3x040，x11，x24(舍)x01，y02.4已知坐标原点为o，a、b为抛物线y24x上异于o的两点，且0，则|的最小值为()a4b8c16d64答案b解析由于0，设直线oa、ob的方程为ykx、yx，分别与抛物线方程联立求得a，b(4k2，4k)，|ab|48，故选b.5已知抛物线c的方程为x2y，过点a(0，1)和点(t,3)的直线与抛物线c没有公共点，则实数t的取值范围是()a(，1)(1，)b.c(，2)(2，)d(，)(，)答案d解析如下图，设过a的直线方程为ykx1，与抛物线方程联立得x2kx0，k220，k2，求得过点a的抛物线的切线与y3的交点为(，3)，则当过点a(0，1)和点b(t,3)的直线与抛物线c没有公共点，实数t的取值范围是(，)(，)，故选d.6长为l(l1)的线段ab的两个端点在抛物线y2x上滑动，则线段ab中点m到y轴距离的最小值是()a.b.c.d.答案d解析由l0)的焦点f，且与抛物线交于p、q两点，由p、q分别向准线引垂线pr、qs，垂足分别为r、s.若|pf|a，|qf|b，m为rs的中点，则|mf|的值为()aabb.(ab)cabd.答案d解析根据抛物线的定义，有|pf|pr|，|qf|qs|.易知rfs为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长在直角梯形prsq中，容易求得|rs|2.故|fm|rs|.8已知点p在抛物线y24x上，那么点p到点q(2，1)的距离与点p到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点p的坐标为()a.b.c(1, 2)d(1，2)答案a解析焦点f(1,0)，准线为l：x1.过q点作直线l的垂线交抛物线于p点，交准线l于m点，则|qp|pf|qp|pm|qm|3为所求的最小值，此时p.9设f为抛物线y24x的焦点，a、b、c为该抛物线上三点，若0，则|()a9b6c4d3答案b解析焦点f坐标为(1,0)，设a、b、c坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)(x11，y1)，(x21，y2)，(x31，y3)0，x11x21x310.x1x2x33.|x11x21x316.10设o是坐标原点，f是抛物线y22px(p0)的焦点，a是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60，则|为()a.b.c.pd.答案b解析设a(x0，y0)(y00)，则过a作abx轴于b.则|bf|x0，|af|x0.又afb60，|af|2|bf|.x0p，y0p.|oa|.11(2012陕西)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米答案2解析设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26.所以水面宽为2米12已知抛物线c：y2x，过点a(x0,0)(x0)作直线l交抛物线于p，q(点p在第一象限)(1)当过抛物线c的焦点，且弦长|pq|2时，求直线l的方程；(2)设点q关于x轴的对称点为m，直线pm交x轴于点b，且bpbq.求证：点b的坐标是(x0,0)，并求点b到直线l的距离d的取值范围解析(1)由抛物线c：y2x得抛物线的焦点坐标为，设直线l的方程为xny，p(x1，y1)，q(x2，y2)由得y2ny0.所以n210，y1y2n.因为x1ny1，x2ny2，所以|pq|x1x2x1x2n(y1y2)12.所以n21，即n1.所以直线l的方程为xy0或xy0.(2)设l：xmyx0(m1)，p(x1，y1)，q(x2，y2)，则m(x2，y2)由得y2myx00.因为x0，所以m24x00，y1y2m，y1y2x0.设b(xb,0)，则(x2xb，y2)，(x1xb，y1)由题意知，x2y1y1xbx1y2xby2.即(y1y2)xbx1y2x2y1yy2yy1(y1y2)y1y2.显然y1y2m0，xby1y2x0.b(x0,0)由题意知，bmq为等腰直角三角形，kpb1，即1，即1.y1y21.(y1y2)24y1y21.m24x01.m214x00.x0.x0，x0.d.即d的取值范围是.13在四边形abcd中，已知a(0,0)，d(0,4)，点b在x轴上，bcad，且对角线acbd.(1)求点c的轨迹方程；(2)若点p是直线y2x5上任意一点，过点p作点c的轨迹的两切线pe、pf，e、f为切点，m为ef的中点求证：pmx轴；(3)在(2)的条件下，直线ef是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由解析(1)如右图，设点c的坐标为(x，y)(x0，y0)，则b(x,0)，(x，y)，(x,4)，x(x)y40，即yx2(x0)所求的轨迹是除去顶点的抛物线(2)对函数yx2求导，得yx.设切点为，则过该切点的切线的斜率是x0.该切线方程是yxx0(xx0)又设点p的坐标为(t,2t5)，切线过点p，有2t5xx0(tx0)，化简得x2tx08t200.设e、f两点的坐标分别为，则x1、x2为方程x22tx8t200的两根，x1x22t，x1x28t20.xmt.因此，当t0时，直线pm与y轴重合，当t0时，直线pm与y轴平行因此可证：pmx轴(3)ym(x1x2)22x1x24t22(8t20)t22t5，点m的坐标为.又kef(x1x2)2tt，直线ef的方程为yt(xt)，即t(x4)102y0.(*)当x4，y5时，方程(*)恒成立对任意实数t，直线ab恒过定点，定点坐标为(4,5)14(2013江南十校联考)已知椭圆c1：1(0b0)的焦点是椭圆的顶点(1)求抛物线c2的方程；(2)过点m(1,0)的直线l与抛物线c2交于e，f两点，过e，f作抛物线c2的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程解析(1)椭圆c1的长半轴长a2，半焦距c，由e，得b21.椭圆c1的上顶点为(0,1)抛物线c2的焦点为(0,1)抛物线c2的方程为x24y.(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为yk(x1)，e(x1，y1)，f(x2，y2)由x24y，得yx2.yx.切线l1，l2的斜率分别为x1，x2.当l1l2时，x1x21，即x1x24.由得x24kx4k0.(4k)24(4k)0，解得k0.由x1x24k4，得k1，满足式，直线l的方程为xy10.1过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线与抛物线交于a、b两点，抛物线准线与x轴交于c点，若cbf90，则|af|bf|的值为()a.bpc.d2p答案d解析如图，设b(x1，yb)在直角三角形cbf中利用射影定理得yx2px1，x1p，|bf|p，又直角三角形cbf与直角三角形adf相似，|af|p，则|af|bf|的值为2p，故选d.2(2013衡水调研卷)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且和y轴交于点a，若oaf(o为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()ay24xby28xcy24xdy28x答案b解析由题可知抛物线焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线方程为y2(x)，令x0，可得a点坐标为(0，)，所以soaf4.a8，故选b.3(2013粤西北九校联考)已知抛物线的一条过焦点f的弦pq，点r在直线pq上，且满足()，r在抛物线准线上的射影为s，设、是pqs中的两个锐角，则下列四个式子中不一定正确的是()atantan1bsinsinccoscos1d|tan()|tan答案d解析由题意psq，所以a.tantan1.b.sinsin.c.coscos1都正确4(2012山东)在平面直角坐标系xoy中，f是抛物线c：x22py(p0)的焦点，m是抛物线c上位于第一象限内的任意一点，过m，f，o三点的圆的圆心为q，点q到抛物线c的准线的距离为.(1)求抛物线c的方程；(2)是否存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点m的横坐标为，直线l：ykx与抛物线c有两个不同的交点a，b，l与圆q有两个不同的交点d，e，求当k2时，|ab|2|de|2的最小值解析(1)依题意知f(0，)，圆心q在线段of的垂直平分线y上，因抛物线c的准线方程为y，所以，即p1，因此抛物线c的方程为x22y.(2)假设存在点m(x0，)(x00)满足条件，抛物线c在点m处的切线斜率为y|xx0()|xx0x0，所以直线mq的方程为yx0(xx0)令y，得xq.所以q(，)又|qm|oq|，故()2()2()2.因此()2，又x00，所以x0，此时m(，1)故存在点m(，1)，使得直线mq与抛物线c相切于点m.(3)当x0时，由(2)得q(，)，q的半径为r，所以q的方程为(x)2(y)2.由整理得2x24kx10.设a，b两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由于116k280，x1x22k，x1x2，所以|ab|2(1k2)(x1x2)24x1x2(1k2)(4k22)由整理得(1k2)x2x0.设d，e两点的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)，由于20，x3x4，x3x4.所以|de|2(1k2)(x3x4)24x3x4.因此|ab|2|de|2(1k2)(4k22).令1k2t，由于k2，则t5，所以|ab|2|de|2t(4t2)4t22t.设g(t)4t22t，t，5，因为g(t)8t2，所以当t，5时，g(t)g()6，即函数g(t)在t，5上是增函数，所以当t时，g(t)取到最小值.因此当k时，|ab|2|de|2取到最小值.5已知动圆c过点a(1,0)，且与直线l0：x1相切(1)求动圆圆心c的轨迹d的方程；(2)设圆心c的轨迹在x4的部分为曲线e，过点p(0,2)的直线l与曲线e交于a，b两个不同的点，且(1)，试求的取值范围解析(1)设动圆圆心c的坐标为(x，y)，圆心c到直线l0的距离为d，由题意可知|ca|d，故由抛物线的定义可知动圆圆心c的轨迹d的方程为y24x.(2)易知曲线e的方程为y24x(x4)，显然当直线l的斜率为零或不存在时不符合题意，故可设直线l的方程为ykx2(k0)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由(1)知x1x2，且0x24,0x14.由消去y，得k2x24(k1)x40, (*)则方程(*)在0,4内有两个不相等的实数根记f(x)k2x24(k1)x4，则从而可得k.由根与系数的关系可知x1x2，x1x2.又x1x2，所以4(1)2.而k，所以0，故可得1(1)2.从而可得4，解得1或11，所以的取值范围是(1,9)6已知a、b两点在抛物线c：x24y上，点m(0,4)，满足.(1)求证：；(2)设抛物线c过a、b两点的切线交于点n.()求证：点n在一定直线上；()设49，求直线mn在x轴上截距的取值范围解析(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，lab：ykx4，与x24y联立得x24kx160，(4k)24(16)16k2640，x1x24k，x1x216.x1x2y1y2x1x2(kx14)(kx24)(1k2)x1x24k(x1x2)16(1k2)(16)4k(4k)160，.(2)()过点a的切线yx1(xx1)y1x1xx，过点b的切线yx2xx，联立得点n.所以点n在定直线y4上()，(x1，y14)(x2,4y2)联立可得k22,49.k2.直线mn：yx4在x轴的截距为k，直线mn在x轴上截距的取值范围是.7(2012课标全国)设抛物线c：x22py(p0)的焦点为f，准线为l，a为c上一点，已知以f为圆心，fa为半径的圆f交l于b，d两点(1)若bfd90，abd的面积为4，求p的值及圆f的方程；(2)若a，b，f三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与c只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解析(1)由已知可得bfd为等腰直角三角形，|bd|2p，圆f的半径|fa|p.由抛物线定义可知a到l的距离d|fa|p.因为abd的面积为4，所以|bd|d4，即2pp4，解得p2(舍去)或p2.所以f(0,1)，圆f的方程为x2(y1)28.(2)因为a，b，f三点在同一直线m上，所以ab为圆f的直径，adb90.由抛物线定义知|ad|fa|ab|，所以abd30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得