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加试模拟训练题（22）1、已知为内一点，由分别向作垂线，垂足分别为。由分别向作垂线，证明这三条垂线交于一点。若的外心为，则三点共线，且是线段的中点。2、若，求证：3、25个人围一圆桌坐，每小时表决一次，回答为是或否如果一个人第n次表决时，至少与一个相邻的人回答相同，即么他第n1次表决与第n次相同如果第n次表决时，与两个相邻的人回答均不同，那么他第n1次表决与第n次不同证明不论开始时大家怎样回答，从某一时间起，每个人的回答都不会改变4、求证方程无正整数解.加试模拟训练题（22）1、已知为内一点，由分别向作垂线，垂足分别为。由分别向作垂线，证明这三条垂线交于一点。若的外心为，则三点共线，且是线段的中点。证明 法一 连，并延长至，使得是线段的中点。设的中点为，则为由所确定的四边形的外接圆的圆心，因此。又因为，所以有。同理可得。法二 分别延长至，使得分别是的中垂线，所以，即是的外心。同理，分别是的外心。由于由分别向作的垂线就是由分别向作的垂线，因此也就是的中垂线，而的中垂线交于一点，且就是的外心，即点。又因为是与的位似中心，且位似比为，所以三点共线，且是线段的中点。2、若，求证：3、25个人围一圆桌坐，每小时表决一次，回答为是或否如果一个人第n次表决时，至少与一个相邻的人回答相同，即么他第n1次表决与第n次相同如果第n次表决时，与两个相邻的人回答均不同，那么他第n1次表决与第n次不同证明不论开始时大家怎样回答，从某一时间起，每个人的回答都不会改变【题说】第二十六届(1994年)加拿大数学奥林匹克题3【解】首先注意如果两个相邻的人第n次的回答相同，那么他们第n1次的回答也相同因而在第n次回答后，都不会再改变令an为第n次回答时，至少与一个相邻的人回答相同的那些人的集合，则根据上面所说，由于25为奇数，所以第一次回答时不可能每个人与相邻的人回答均不相同，即a1至少含两个人人第m次的回答也不同这样y第m1次的回答应与他自己第m次的回答不同，即与x第m1次的回答相同，从而yam1am，矛盾！因此am含全部25人并且从第m次起，每个人的回答都不会改变4、求证方程无正整数解.分析：两边都是未知数，很难把握其性质，但发现右式可以分解.解: ,.若，有，
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