全国高中数学竞赛二试模拟训练题(48)(1).doc

加试模拟训练题（48）2. 证明：对于正数a、b、c，下述不等式成立：a3+b3+c3+3abcab（a+b）+bc（b+c）+ac（a+c） （1）3.圆周上有若干黑色和白色的棋子，两人按下面的规则作游戏：甲取走所有与白子相邻(只需有一侧相邻)的黑子，然后，乙取走所有与黑子相邻的白子这样进行下去，直至剩下的棋子全部同色1如果开始有40枚棋子，是否有可能在每人取两次之后，只剩下一枚棋子？2如果开始有1000枚棋子，问最少经过多少步才能只剩下一枚棋子？4. 试证：1如果正整数n使方程x33xy2+y3=n有一组整数解（x，y），那么这个方程至少有三 组整数解； （2）当n=2891时，上述方程无整数解从而x、y不能都被3整除，如果x、y中恰有一个被3整除，用（yx，x）或（y，xy）代替（x，y）因此可以假定x、y都不被3整除，从而x31，y31，3xy23（mod9）（2）不能成立，这表明当n=2891时，（1）无解加试模拟训练题（48）2. 证明：对于正数a、b、c，下述不等式成立：a3+b3+c3+3abcab（a+b）+bc（b+c）+ac（a+c） （1）【题说】第九届（1975年）全苏数学奥林匹克十年级题2【证】不失一般性，可假定abc那末c（ac）（bc）0，（ab）2（a+b-c）0从而 c3+abcac2+bc2 （2）a3+b3+2abcab（a+b）+a2c+b2c （3）（2）、（3）两式相加即得（1）式3.圆周上有若干黑色和白色的棋子，两人按下面的规则作游戏：甲取走所有与白子相邻(只需有一侧相邻)的黑子，然后，乙取走所有与黑子相邻的白子这样进行下去，直至剩下的棋子全部同色1如果开始有40枚棋子，是否有可能在每人取两次之后，只剩下一枚棋子？2如果开始有1000枚棋子，问最少经过多少步才能只剩下一枚棋子？【题说】第十一届(1977年)全苏数学奥林匹克八年级题4【解】 1能如图，棋子0表示最后留下的一枚黑子，在它两旁各放1枚白子并标以1，表示在倒数第1步(即第4步)被取去的白子在每个1的两旁各放1枚黑子并标以2，表示在倒数第2步(即第3步)被取去的黑子在每个2与0的两旁各放1枚白子并标以3，表示在倒数第3步(即第2步)被取去的白子最后放上标有4的黑子这样，共41枚棋子第一次取去标有4的黑子，第二、三、四次依次取去标有3、2、1的棋子，最后剩下一枚黑子0在图中删去一个标有4的棋子，对剩下的40枚棋子，结论依然成立2用上面的方法可得下表：这里棋子总数st是能够经过n步后剩下1枚棋子的情况中棋子数的最大值由于s75571000，s813931000所以至少8步才能使原有的1000枚棋子只剩下1枚棋子用上面的作法不难得出有1393枚棋子而经过8步最后只剩1枚黑子的图，将其中标有8的棋子(共4082816枚)删去393枚，便得到1000枚棋子，经过8步最后只剩下1枚黑子4. 试证：1如果正整数n使方程x33xy2+y3=n有一组整数解（x，y），那么这个方程至少有三组整数解；（2）当n=2891时，上述方程无整数解【题说】第二十三届（1982年）国际数学奥林匹克题4【证】1因为（yx）3（yx）x2+（x）3=x33xy2+y3所以在（x，y）为方程x3xy2+y3=n的整数解时，（yx，x）也是（1）的整数解这时将yx当作x，x当作y，则由于（x）（yx）=y，（yx）=xy，所以（y，xy）也是（1）的整数解这三组解互不相同，因为任两组解相同将导出x=y=0，与n为正整数矛盾2如果x33xy2+y3=2891，那么x33xy2+y32（mod9） （2）从而x、y不能都被3整除，如果x、y中恰有一个被3整除，用（yx，x）