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加试模拟训练题（58）1abc的外心为o，ab=ac，d是ab中点，e是acd的重心.证明oe丄cd.2. 设非负数列a1，a2，满足条件an+man+am，m，nn求证：对任意nm均有3. 森林中有12名矮子，每一名住在自己的房子里，房子染蓝色或红色在每一年的第i个月，第i名矮子拜访他的所有朋友，如果朋友中多数的房子与他自己的房子颜色不同，那么他就将自己房子的颜色改为另一种，以与大多数朋友一致证明：经过一段时间，每一名矮子均无须变更房子的颜色(朋友是互相的，并且不会变化)4.设n为一个正整数， p为一个质数，证明，如果a,b,c满足，则。加试模拟训练题（58）1abc的外心为o，ab=ac，d是ab中点，e是acd的重心.证明oe丄cd. (加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设am为高亦为中线，取ac中点f，e必在df上且de:ef=2:1.设cd交am于g，g必为abc重心.连ge，mf，mf交dc于k.易证：dg:gk=dc:()dc=2:1. dg:gk=de:efgemf. od丄ab，mfab， od丄mfod丄ge.但og丄deg又是ode之垂心. 易证oe丄cd.2. 设非负数列a1，a2，满足条件an+man+am，m，nn求证：对任意nm均有【题说】1997年中国数学奥林匹克题6【证】对任意nm，设n=qm+r，0rm则 man=maqm+rm（aqm+ar）m（qam+ar）=（n-r）am+mar=（n-m）am+（m-r）am+mar（n-m）am+m（m-r）a1+mra1=（n-m）am+m2a13. 森林中有12名矮子，每一名住在自己的房子里，房子染蓝色或红色在每一年的第i个月，第i名矮子拜访他的所有朋友，如果朋友中多数的房子与他自己的房子颜色不同，那么他就将自己房子的颜色改为另一种，以与大多数朋友一致证明：经过一段时间，每一名矮子均无须变更房子的颜色(朋友是互相的，并且不会变化)【题说】 1990年匈牙利阿拉尼丹尼尔赛高年级较高水平题2【解】在每两名朋友间连一条线如果他们房子的颜色相同，则将这条线染为黄色，否则不染色考虑黄线的变化当某个矮子需要改变自己房子的颜色时，根据本题条件，黄线总数至少增加1个但是黄线的总数不会超过c2n条因此黄线不可能永远增加换句话说，经过一段时间后，每一名矮子均无须变更自己房子的颜色例题9 设n为一个正整数， p为一个
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