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加试模拟训练题（87）2.已知整数列a0，a1，a2，满足：（1）an+1=3an-3an-1+an-2，n=2，3，；（2）2a1=a0+a2-2；（3）对任意自然数m，在数列a0，a1，a2，中必有相继的m项ak，ak+1，ak+m-1都是完全平方数求证：a0，a1，a2，）的所有项都是完全平方数3.有24个面积为s的全等小矩形，把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形，问小矩形的边长各是多少？4. 设，证明对于不可能有某一正整数，使能被整除.（p.185，32）加试模拟训练题（87）2.已知整数列a0，a1，a2，满足：（1）an+1=3an-3an-1+an-2，n=2，3，；（2）2a1=a0+a2-2；（3）对任意自然数m，在数列a0，a1，a2，中必有相继的m项ak，ak+1，ak+m-1都是完全平方数求证：a0，a1，a2，）的所有项都是完全平方数【题说】1992年中国数学奥林匹克题6【证】令dn=an-an-1，则由（1）dn+1-dn=dn-dn-1=d2-d1所以dn是等差数列，从而由（2），d2-d1=a2-2a1+a0=2，所以an=n2+bn +c，b、cz若b为奇数2t+1，则在n充分大时，大于（n+t）2，小于（n+t+1）2（=（n+t）2+2n+2t+1），因而an不是平方数而由（3），an有任意大的平方数，矛盾！所以b为偶数2t，从而an=（n+ t）2+c-t2在c-t20时，对于充分大的n，an介于（n+ t）2与（n+t+1）2之间，与（3）矛盾同样c-t20也导出矛盾（考虑连续平方数（n+t-1）2与（n+t）2）所以c-t2=0，an=（n+ t）2【注】（3）可减弱为an中有任意大的平方数，即an中有无穷多个平方数3.有24个面积为s的全等小矩形，把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形，问小矩形的边长各是多少？【题说】 1980年北京市赛题6【解】 设小矩形边长为a、b(不妨令ab)因大矩形与小矩形长边包含x1个小矩形的长边与x2个小矩形短边(x1、x2均为非负整数)，而大矩形短边包含y1个小矩形的长边与y2个小矩形的短边(y1、y2均为非负整数)由题意得方程：用b除上述方程，并解出a/b，得：方程的左边是整数；仅当x1y20时，右边才是整数因x1与y2均非负，故x1y20代入方程(1)、(2)、(3)，得：因此ab，所以x2y1因此y1只能取数值1，2，3，4(x2相应地取数值24，12，8，6) 4. 设，证明对于不可能有某一正整数，使能被整除.（p.185，32）证明 由已知有，得 .又由已知有，平方得 ，同理 ，这表明是二次方程 的两个不等根，得 ，即 . 若存在某一正整数，使能被整
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