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加试模拟训练题（79）1 如图，在四边形abcd中，对角线ac平分bad。在cd上取一点e，be与ac相交于f，延长df交bc于g。求证：gac=eac。2. 数列y1，y2，y3，满足条件y1=1，对于k0，证明：数列y1，y2，y3，能取遍每个正整数并且恰好一次3.设abcdef为正六边形，一只青蛙开始在顶点a处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一；若在5次之内跳到d点，则停止跳动；若5次之内不能到达d点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从a点出发跳动到停止为止，可能出现的不同跳法共有多少种？4.求都能使成立的最大的加试模拟训练题（79）1 如图，在四边形abcd中，对角线ac平分bad。在cd上取一点e，be与ac相交于f，延长df交bc于g。求证：gac=eac。证 如图，连接bd交ac于h，过点c作ab的平行线交ag的延长线于i，过点c作ad的平行线交ae的延长线于j。对bcd用塞瓦定理，可得 因为ah是bad的角平分线，由角平分线定理知。代入式得 因为ciab，cjad，则，。代入式得.从而ci=cj。又由于aci=180bac=180dac=acj，所以aciacj，故iac=jac，即gac=eac.2. 数列y1，y2，y3，满足条件y1=1，对于k0，证明：数列y1，y2，y3，能取遍每个正整数并且恰好一次【题说】第二十五届（1993年）加拿大数学奥林匹克题5【证】用二进制表示设n=（amam-1a1a0）2其中am=1，ai=0或1，i=0，1，m-1我们用归纳法证明yn=（bmbm-1b1b0）2其中bm=1，b2ai+ai+1（mod2），i=0，1，m-1（1）n=1时，显然（2）假设对于小于n的正整数结论成立对于n=（ama1a0）2，其中b0=0a1+a0（mod2）（ii）若a1=1，a0=0，则其中b0=1a0+a1（mod2）（iii）若a1=0，a0=1，则其中b0=1a0+a1（mod2）（iv）若a1=a0=1，则其中b0=0a0+a1（mod2）因此，命题对任意正整数n也成立反之，对任意数（bmb1b0）2，可以唯一确定n=（amam-1a1a0）如下：am=bm=1，aibi-ai+1（mod2）所以，ynn是n+n+的一一对应3.设abcdef为正六边形，一只青蛙开始在顶点a处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一；若在5次之内跳到d点，则停止跳动；若5次之内不能到达d点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从a点出发跳动到停止为止，可能出现的不同跳法共有多少种？【题说】 1997年全国联赛一试题2(5)【解】 如果跳5次才停，那么由于在每一点都有2种跳法，共有25种跳法其中3步跳到d的有2种，跳到d后继续再跳2次的有222种因此符合要求的跳法有25222226种 4.求都能使成立的最大的解析：容易知道是关于的增函数。当时，由知，即是的约数；当时，；当时，由上知，有，故猜测。容易想到用数学归纳法证明结
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