高三数学 知识点精析精练29 函数、方程、不等式.doc

2014高三数学知识点精析精练29：函数、方程、不等式函数是高中数学的重要内容，也是历年高考所占比例最大的的一部分内容。对函数内容的考查一般都高于大纲的要求，高考试题中对函数内容的考查主要集中在函数的概念、性质，函数图象的变换等方面，并注意与方程、不等式、数列等内容相联系，进行综合考查，在考查中突出函数的思想、数形结合的思想。特别需注意的是在复习中必须加强对二次函数的再学习，再认识，从新的角度研究二次函数，加深对二次函数的理解和掌握。方程可看作函数值为零时的函数的解析式，而不等式则是函数的图象位于x轴上方的情形。在解决方程、不等式的有关问题时，可以从函数的角度去思考、分析和解决；在解决函数的有关问题时，可以借助方程、不等式的有关知识去理解和解决。这是解决这类问题的一个重要的策略。一、对函数、方程、不等式的基本问题要熟练掌握象函数有关的概念、基本性质、函数的图象及解不等式等问题都是基本问题，在高考试题中一般都是中、低档题目，所以必须提高解决这类问题的准确性和熟练性。【例1】 （99年全国）已知映射f:ab,其中集合a=3，2，1，1，2，3，4，集合b中的元素都是a中元素在映射f下的象，且对任意的aa，在b中和它对应的元素是|a|，则集合b中元素的个数是（ ）a.4b.5c.6d.7分析：解决此题的关键有两个，一是要熟悉映射的定义，二是准确理解题意。根据映射的定义，可知对于集合a中的每一个元素，在集合b中都有唯一的元素和它对应；而根据题意，集合b是集合a的象集，由对应法则，不难得出集合b=1，2，3，4，故应选a。【例2】 （99年全国）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab0，则g(b)等于a.ab.a1c.bd.b1分析：此题主要考查反函数的概念。g(b)是函数y=f(x)当函数值为b时的自变量的值，所以g(b)= a，故选a。【例3】 (2001年全国春季)设函数f(x)=，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。分析：解决有关概念问题，一般都可以从它的定义开始。这个函数的单调区间既可以利用图象来求，也可以利用定义域结合特殊值的方法来求；证明也有两种方法，一是利用单调性的定义，二是利用函数的导数证明。解法1：函数f(x)=的定义域为（，b）(b,+)。函数f(x)在（，b）上是减函数，在(b,+)上也是减函数。取x1,x2(b,+)，且x10,x2x10,(x1+b)(x2+b)0.f(x1)f(x2)0,即f(x)在(b,+)上是减函数。同理可证f(x)在（，b）上也是减函数。解法2：f/(x)=,显然，当xb时，f/(x)0恒成立，试求a的取值范围。分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用。当a=时，f(x)=，当且仅当时等号成立，而，也就是说这个最小值是取不到的。解：(1)当a=时，f(x)=，这时f/(x)=1,当x时，f/(x)0,说明函数f(x)为增函数，所以当x=1时，取到最小值f(1)=3.5.(2)解法1：f(x)0恒成立，就是x2+2x+a0恒成立，而函数g(x)=x2+2x+a在上增函数，所以当x=1时，g(x)取到最小值3+a，故3+a0，得：a3。解法2：f(x)0恒成立，就是x2+2x+a0恒成立，即ax22x恒成立，这只要a大于函数x22x的最大值即可。而函数x22x在上为减函数，当x=1时，函数x22x取到最大值3，所以a3。函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题。二、对函数、方程、不等式之间的联系要能灵活运用【例5】 （97年全国）不等式组的解集是ax|0x2bx|0x2.5cx|0xdx|0x2时，有f（x）0，于是有a0，故b0.三、对二次函数的理解和掌握要更加深刻二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（2）顶点式：y=a(xm)2+n,其中(m,n)是抛物线的顶点。（3）两根式：y=a(xx1)(xx2)，其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根。【例7】 已知二次函数y= ax2+bx+c。（1）对于x1,x2r,且x1 x2，f(x1)f(x2),求证：方程f(x)= f(x1)+f(x2)有两个不相等的实根，且只有一个根属于(x1,x2)；（2）若方程f(x)= f(x1)+f(x2)在(x1,x2)内的根为m，且x1,m,x2成等差数列，设x=x0是f(x)的对称轴方程，求证：x00(x1x2).设g(x)= f(x)f(x1)+f(x2),则因为g(x1)g(x2)= f(x1)f(x1)+f(x2) f(x2)f(x1)+f(x2)=f(x1)f(x2)20(f(x1)f(x2),所以在(x1,x2)上必有一个实根。（2）因为x1,m,x2成等差数列，所以x1+x2=2m1.由2f(m)= f(x1)+f(x2),得：a(2m2x12x22)+b(2mx1x2)=0,将上式代入，得：b=a(2m2x12x22),所以x0=.【例8】 已知函数在区间b，1b上的最大值为25，求b的值.解: 由已知二次函数配方, 得 （1）当时，的最大值为4b2+3=25. 矛盾（2）当，即时，上递增，（3）当时，即时，上递增，.四、注意数学思想的运用在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.【例9】 设函数，已知，时恒有，求a的取值范围.解: 由得,从而只要求直线l不在半圆c下方时, 直线l 的y截距的最小值.当直线与半圆相切时，易求得舍去）.故.注：本例的求解的关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.【例10】 已知不等式对于大于1的正整数n恒成立，试确定a的取值范围.解: 构造函数，易证为增函数.n是大于1的 正整数，要使对一切大于1的正整数恒成立，必须,即【例11】 已知的单调区间；（2）证明茶房任意（3）若；求证：解: （1）对已知函数进行降次分项变形,得,（2）而 （3） .注：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值.【例12】 已知函数f(x)=（a，a）(1) 证明函数f(x)的图象关于点p对称(2) 令an，对一切自然数n，先猜想使an成立的最小自然数a,并证明之(3) 求证：).解：(1)关于函数的图象关于定点p对称, 可采用解几中的坐标证法.设m(x,y)是f(x)图象上任一点，则m关于p的对称点为m（x，y）， (1x,1y)亦在f(x)的图象上，故函数f(x)的图象关于点p对称.(2)将f(n)、f(1n)的表达式代入an的表达式，化简可得an猜a=3,即下面用数学归纳法证明设n=k(k)时，那么n=k+1，又(3)lg3lg令k=1,2,，n，得n个同向不等式，并相加得：函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一个重点【例13】 已知二次函数，设方程的两个实根为x1和x2.；（1）如果，若函数的对称轴为x=x0，求证：x01；（2）如果，求b的取值范围.解:（1）设，由得, 即 ，故；（2）由知同号.若，则.又，负根舍去）代入上式得，解得；若 即4a2b+30.同理可求得. 故当，当时，【例14】 对于函数，若存在成立，则称为的不动点。如果函数有且只有两个不动点0，2，且（1）求函数的解析式；（2）已知各项不为零的数列满足，求数列通项；（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.解:依题意有,化简为 由韦达定理, 得，解得 代入表达式，由得 则不止有两个不动点，（2）由题设得 （*）且 （*）由（*）与（*）两式相减得： 解得（舍去）或，由，若这与矛盾，即是以1为首项，1为公差的等差数列，； （3）采用反证法，假设则由（1）知,有，而当时，这与假设矛盾，故假设不成立，.证法2：由得t； （3）试求满足f(t)=t的整数t的个数，并说明理由.解 （1）为求f(1)的值，需令令.令. （2）令().由，可知，对一切正整数y都有,于是对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)t. （3）由及（1）可知.下面证明当整数时，()得即，将诸不等式相加得 .综上，满足条件的整数只有t=1，.【例17】 已