高中数学 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.3.2.2线性规划的实际应用课件 新人教A版必修5.ppt

第2课时线性规划的实际应用 1 复习巩固线性规划问题 2 能利用线性规划解决实际应用问题 解决线性规划问题的一般步骤 1 画 在直角坐标平面上画出可行域和直线ax by 0 目标函数为z ax by 2 移 平行移动直线ax by 0 确定使z ax by取得最大值或最小值的点 3 求 求出取得最大值或最小值的点的坐标 解方程组 及最大值和最小值 4 答 给出正确答案 归纳总结一般地 对目标函数z ax by 若b 0 则纵截距与z同号 因此 纵截距最大时 z也最大 若b 0 则纵截距与z异号 因此 纵截距最大时 z反而最小 做一做 有5辆载重6t的汽车 4辆载重4t的汽车 要运送一批货物 设需载重6t的汽车x辆 载重4t的汽车y辆 则完成这项运输任务的线性目标函数为 a z 6x 4yb z 5x 4yc z x yd z 4x 5y答案 a 解答线性规划应用题应注意的问题剖析 1 在线性规划问题的应用中 通常题中的条件较多 因此认真审题非常重要 2 线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断 3 结合实际问题 分析未知数x y等是否有限制 如x y为正整数 非负数等 4 分清线性约束条件和线性目标函数 线性约束条件一般是不等式 而线性目标函数却是一个等式 5 作图对解决线性规划问题至关重要 其关键步骤基本上都是在图上完成的 所以作图应尽可能地准确 图上操作尽可能规范 但作图中必然会有误差 假如图上的最优点不容易看出时 需将几个有可能是最优点的坐标都求出来 然后逐一检查 以确定最优解 题型一 题型二 题型三 线性规划应用题 例1 某工厂有甲 乙两种产品 计划每天各产品生产量不少于15t 已知生产甲产品1t需煤9t 电力4kw h 劳力3个 生产乙产品1t需煤4t 电力5kw h 劳力10个 甲产品每1t利润7万元 乙产品每1t利润12万元 但每天用煤不超过300t 电力不超过200kw h 劳力只有300个 问每天各生产甲 乙两种产品多少 能使利润总额达到最大 题型一 题型二 题型三 分析将已知数据列成表 如下表所示 设出未知量 根据已知条件和资源限额建立约束条件 由利润关系建立目标函数 题型一 题型二 题型三 解设每天生产甲 乙两种产品分别为xt yt 利润总额为z万元 那么 作出以上不等式组的可行域 如图中的阴影部分所示 题型一 题型二 题型三 得点a的坐标为 20 24 所以zmax 7 20 12 24 428 万元 即生产甲 乙两种产品分别为20t 24t时 利润总额最大 题型一 题型二 题型三 反思解答线性规划应用题的一般步骤 1 审题 仔细阅读 对关键部分进行 精读 准确理解题意 明确有哪些限制条件 起关键作用的变量有哪些 由于线性规划应用题中的量较多 为了理顺题目中量与量之间的关系 有时可借助表格来理顺 2 转化 设元 写出约束条件和目标函数 从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题 3 求解 解这个线性规划问题 4 作答 就应用题提出的问题作出回答 题型一 题型二 题型三 变式训练1 某公司计划2016年在甲 乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告 广告总费用不超过9万元 甲 乙电视台的广告收费标准分别为500元 分和200元 分 假定甲 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0 3万元和0 2万元 问该公司如何分配在甲 乙两个电视台的广告时间 才能使公司的收益最大 最大收益是多少万元 解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟 收益为z元 目标函数z 3000 x 2000y 作二元一次不等式组所表示的可行域 如图阴影部分所示 题型一 题型二 题型三 作直线l 3000 x 2000y 0 即3x 2y 0 平移直线l 从图中可知 当直线l过m点时 目标函数取得最大值 点m的坐标为 100 200 zmax 3000 x 2000y 700000 元 答 该公司在甲电视台做100分钟广告 在乙电视台做200分钟广告 公司的收益最大 最大收益是70万元 题型一 题型二 题型三 最优解为整数解的线性规划问题 例2 两类药片有效成分如表 若要求至少提供12mg阿司匹林 70mg小苏打 28mg可卡因 两类药的最小总数是多少 怎样搭配价格最低 分析通过题目中的表格 分清各量之间的关系 找出线性约束条件 特别注意线性约束条件中的x y n 题型一 题型二 题型三 解设需用a和b两种药品分别为x片和y片 药品总数为z片 价格为l元 线性目标函数为 药品总数z x y 价格l 0 1x 0 2y 由不等式组作可行域如图 阴影部分中的整数点 作直线l0 x y 0 平移直线l0到l位置 l经过点a时z有最小值 题型一 题型二 题型三 而点a不是整数点 故不能作为最优解 l1 0 1 1 0 2 10 2 1 l2 0 1 2 0 2 9 2 0 l3 0 1 3 0 2 8 1 9 其中的l3最小 所以lmin 1 9 元 所以药品最小总数为11片 其中3片a种药 8片b种药搭配的价格最低 题型一 题型二 题型三 变式训练2 有一批同规格的钢条 每根钢条有两种切割方式 可截成长度为a的钢条2根 长度为b的钢条1根 或截成长度为a的钢条1根 长度为b的钢条3根 现长度为a的钢条至少需要15根 长度为b的钢条至少需要27根 问 如何切割可使钢条用量最省 解设按第一种切割方式需钢条x根 按第二种切割方式需钢条y根 根据题意 目标函数是z x y 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整数点所示 题型一 题型二 题型三 此时z 11 4 因为x y z都应当为正整数 所以点 3 6 7 8 不是最优解 经过可行域内的整点 且使z最小的直线是y x 12 即z 12 此时满足该约束条件的 x y 有两个 4 8 或 3 9 它们都是最优解 即满足条件的切割方式有两种 按第一种方式切割钢条4根 按第二种方式切割钢条8根 或按第一种方式切割钢条3根 按第二种方式切割钢条9根 均可满足要求 题型一 题型二 题型三 易错辨析易错点 约束条件不完整致错 例3 某实验室需购某种化工原料106kg 现在市场上该原料有两种包装 一种是每袋35kg 价格为140元 另一种是每袋24kg 价格为120元 在满足需要的条件下 最少要花费多少元 错解设分别购买两种原料x袋 y袋 花费z 140 x 120y 画出可行域如图所示 题型一 题型二 题型三 错因分析由于所求为购买物品的袋数 则x y均为整数 故上述解法不正确 题型一 题型二 题型三 正解设分别购买两种原料x袋 y袋 花费z 140 x 120y 画出可行域如图阴影部分中的整数点所示 题型一 题型二 题型三 在可行域内 点a附近的整数点有b 4 0 c 3 1 d 2 2 e 1 3 将其分别代入线性目标函数z 140 x 120y 可得zb 560 zc 540 zd 520 ze 500 故当x 1 y 3时 zmin 500 因此购买35kg包装的1袋 24kg包装的3袋 可使花费最少 最少花费为500元 题型一 题型二 题型三 反思当求到的最优解不是整点最优解时 就需要对最优解进行调整 调整的基本思路就是 先求非整点最优解 再借助不定方程的知识调整最优解 最后筛选出整点最优解 确定整点最优解的方法有三种 平移直线法 特值验证法 调整优值法 1 平移直线法 先在可行域内打网格 描整点