高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 3 排序不等式课件 新人教A版选修45.ppt

三排序不等式 1 了解排序不等式的数学思想和背景 2 了解排序不等式的结构与基本原理 3 理解排序不等式的简单应用 1 排序不等式的应用 重点 2 排序不等式与不等式有关知识的综合应用 难点 目标定位 预习学案 a c d b 1 顺序和 乱序和 反序和的概念设a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn为两组实数 c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 则称ai与bi i 1 2 n 的相同顺序相乘所得积的和 为顺序和 称 为乱序和 称相反顺序相乘所得积的和 为反序和 a1b1 a2b2 anbn a1c1 a2c2 ancn a1bn a2bn 1 anb1 2 排序不等式 排序原理 设a1 a2 an b1 b2 bn为两组实数 c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 则 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时 反序和等于顺序和 此不等式简记为 顺序和 a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 反序和 乱序和 1 已知两组数a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 其中a1 2 a2 7 a3 8 a4 9 a5 12 b1 3 b2 4 b3 6 b4 10 b5 11 将bi i 1 2 3 4 5 重新排列记为c1 c2 c3 c4 c5 则a1c1 a2c2 a5c5的最大值和最小值分别是 a 132 6b 304 212c 22 6d 21 36答案 b 3 已知两组数1 2 3和4 5 6 若c1 c2 c3是4 5 6的一个排列 则1c1 2c2 3c3的最大值是 最小值是 解析 由反序和 乱序和 顺序和知 顺序和最大 反序和最小 故最大值为32 最小值为28 答案 3228 课堂学案 字母的大小顺序已确定的不等式的证明 需对字母顺序作出假设的不等式的证明 设x 0 求证 1 x x2 x2n 2n 1 xn 思路点拨 题中只给出了x 0 但对于x 1 x 1没有明确 因而需要进行分类讨论 对所证不等式中的字母大小顺序需要加以讨论 用排序原理证明柯西不等式 定理 排序原理 设a1 a2 an b1 b2 bn为两组实数 c1 c2 cn为b1 b2 bn的任一排列 则有 a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 等号成立当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn 排序不等式的另一证明 证明 1 设ck c1 c2 ck bk b1 b2 bk 因为b1 b2 bk 且 c1 c2 ck 是由 b1 b2 bn 中的k个元素构成的子集 则ck bk k 1 2 n cn bn 因为ak 1 ak 0 k 2 3 n 所以a1c1 a2c2 ancn a1c1 a2 c2 c1 an cn cn 1 c1 a1 a2 c2 a2 a3 cn 1 an 1 an ancn b1 a1 a2 b2 a2 a3 bn 1 an 1 an anbn a1b1 a2 b2 b1 an bn bn 1 a1b1 a2b2 anbn 即乱序和 顺序和 2 由于b1 b2 bn 所以 b1 b2 bn 设 c1 c2 cn为 b1 b2 bn的一个排列 由 1 的证明得a1 bn a2 bn 1 an b1 a1 c1 a2 c2 an cn 于是有a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 an