高中数学 第二章 推理与证明章末高效整合课件 新人教A版选修12.ppt

章末高效整合 知能整合提升 一 合情推理和演绎推理1 归纳和类比是常用的合情推理 都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳类比 然后提出猜想的推理 从推理形式上看 归纳是由部分到整体 个别到一般的推理 类比是由特殊到特殊的推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 2 从推理所得结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待进一步证明 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下 得到的结论一定正确 从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑 它们又是紧密联系 相辅相成的 合情推理的结论需要演绎推理的验证 而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得 合情推理可以为演绎推理提供方向和思路 二 直接证明和间接证明1 直接证明包括综合法和分析法 1 综合法是 由因导果 它是从已知条件出发 顺着推证 用综合法证明命题的逻辑关系是 a b1 b2 bn b a为已经证明过的命题 b为要证的命题 它的常见书面表达是 或 2 分析法是 执果索因 一步步寻求上一步成立的充分条件 它是从要求证的结论出发 倒着分析 由未知想需知 由需知逐渐地靠近已知 已知条件 已经学过的定义 定理 公理 公式 法则等 用分析法证明命题的逻辑关系是 b b1 b2 a 它的常见书面表达是 要证 只需 或 2 间接证明主要是反证法反证法 一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫作反证法 反证法是间接证明的一种方法 反证法主要适用于以下两种情形 1 要证的结论与条件之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 2 如果从正面证明 需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明 只要研究一种或很少的几种情形 热点考点例析 合情推理的应用 点拨 对合情推理的认识合情推理包括归纳推理和类比推理 归纳推理是由部分特殊的对象特征得到一般性的结论的推理方法 它在数学研究或数学学习中具有十分重要的意义 通过归纳推理可以发现新知识 探索新结论 探索解题思路 预测答案等 类比推理是从特殊到特殊的一种推理方法 它以比较为基础 类比法有助于启迪思维 触类旁通 拓宽知识面 发现命题等 著名哲学家康德说 每当理智缺乏可靠论证思路时 类比法往往能指明前进的方向 特别提醒 1 归纳推理是由部分到整体 个体到一般的推理 其结论正确与否 有待于严格证明 2 进行类比推理时 要合理确定类比对象 不能乱比 要对两类对象的共同特点进行对比 1 如图 第n个图形是由正n 2边形 扩展 而来 n 1 2 3 则第n 2个图形中共有 个顶点 解析 设第n个图形中有an个顶点 则a1 3 3 3 a2 4 4 4 an n n n an 2 n 2 2 n 2 n2 3n 2 答案 n2 3n 2 点拨 数学中考查演绎推理的试题的比例比较大 即有选择 填空 也有解答 证明 立体几何是考查演绎推理的最好素材 演绎推理是从一般的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理 是一种由一般到特殊的推理 数学中的证明主要是通过演绎推理进行的 演绎推理的一般模式是 三段论 包括 大前提 小前提和结论 在演绎推理中 只要前提和推理形式正确 则结论必定是正确的 演绎推理的应用 思维点击 2 如图所示 在四边形abcd中 ab cd bc ad 求证 四边形abcd为平行四边形 写出三段论形式的演绎推理 3 由全等三角形的定义可知 全等三角形的对应角相等 大前提 abc和 cda全等 小前提则它们的对应角相等 结论用符号表示 就是 abc cda 1 2且 3 4且 b d 4 两条直线被第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直线平行 大前提直线ab dc被直线ac所截 内错角 1 2 小前提 已证 则ab dc 结论同理有 bc ad 5 如果四边形中两组对边分别平行 那么这个四边形是平行四边形 大前提四边形abcd中 两组对边分别平行 小前提则四边形abcd是平行四边形结论用符号表示为 ab dc且ad bc 四边形abcd为平行四边形 点拨 1 综合法和分析法是直接证明中两种最基本的证明方法 但这两种方法证明思路完全相反 综合法是 由因导果 而分析法是 执果索因 2 一般情况下是用分析法寻找解题思路 然后用综合法证明问题 它们相互转换 相互渗透 要充分利用这一辩证关系 在解题中综合法和分析法联合运用 转换解题思路 增加解题途径 综合法与分析法 3 设a b是两个正实数 且a b 求证 a3 b3 a2b ab2 证明 要证a3 b3 a2b ab2成立 只需证 a b a2 ab b2 ab a b 成立 即需证a2 ab b2 ab成立 只需证a2 2ab b2 0成立 即需证 a b 2 0成立 而由已知条件可知 a b a b 0 a b 2 0显然成立 即a3 b3 a2b ab2 点拨 对反证法的认识 1 反证法是一种间接证明的方法 它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题 它反映了 正难则反 的思想 2 反证法着眼于命题的转换 改变了研究的角度和方向 使论证的目标更为明确 由于增加了推理的前提 原结论的否定 更易于开拓思路 因此对于直接论证较为困难的时候 往往采用反证法证明 所以反证法在数学证明中有着广泛的应用 反证法 特别提醒 适宜用反证法证明的命题有 结论本身是以否定形式出现的命题 关于唯一性 存在性的命题 结论是以 至多 至少 等形式出现的命题 结论的反面比原结论更具体 更容易研究的命题 1 用演绎推理证明函数y x3是增函数时的大前提是 a 增函数的定义b 函数y x3满足增函数的定义c 若x1x2 则f x1 f x2 解析 根据演绎推理的特点知 演绎推理是一种由一般到特殊的推理 所以函数y x3是增函数的大前提应是单调增函数的定义 答案 a 2 已知 整数对 按如下规律排成一排 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 则第66个 整数对 是 a 7 5 b 5 7 c 2 10 d 11 1 答案 d 4 与 三个实数a b c不全为0 等价的是 a a b c都不是0b a b c中至多有一个为0c a b c中只有一个是0d a b c中至少有一个不是0解析 不全为0 即 至少有一个不是0 故选d 答案 d 5 如图所示 因为四边形abcd是平行四边形 所以ab cd bc da 又因为 abc和 cda的三边对应相等 所以 abc cda 上述推理的两个步骤中应用的推理形式是 答案 三段论 6 如图所示是一个有n层 n 2 n n 的六边形点阵 它的中心是一个点 算作第1层 第2层每边有2个点 第3层每边有3个点 第n层每边有n个点 则这个点阵共有 个点 8 已知a1 a2 a3 a4 100 求证 a1 a