高考数学大一轮复习 第二篇 函数 导数及其应用 第8节 函数与方程课件 理.ppt

第8节函数与方程 最新考纲 考点专项突破 知识链条完善 易混易错辨析 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 函数的零点是函数图象与x轴交点吗 提示 函数的零点不是点 而是使函数值为0的值 也就是函数图象与x轴交点的横坐标 2 当函数y f x 在 a b 内有零点时 是否一定有f a f b 0 3 函数y f x 在 a b 上图象是连续不断的 单调的 且f a f b 0 那么它在 a b 上有多少个零点 提示 只有1个零点 知识梳理 1 函数的零点 f x 0 实数根 x轴 零点 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 拓展提升 1 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 则函数y f x 一定有零点 特别是 当y f x 在 a b 上单调时 它仅有一个零点 2 由函数y f x 图象是连续不断的 在闭区间 a b 上有零点不一定能推出f a f b 0 如图所示 所以f a f b 0是y f x 在闭区间 a b 上有零点的充分不必要条件 对点自测 a b 3 给出下列命题 函数f x x2 1的零点是 1 0 和 1 0 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则一定有f a f b 0 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 若函数f x 在 a b 上单调且f a f b 0 则函数f x 在 a b 上有且只有一个零点 其中正确的序号是 解析 错误 函数f x x2 1的零点为 1和1 而并非其与x轴的交点 1 0 与 1 0 错误 函数f x x2 x在 1 2 上有两个零点 但f 1 f 2 0 正确 当b2 4ac 0时 二次函数图象与x轴无交点 从而二次函数没有零点 错误 答案 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 函数零点所在区间 例1 1 导学号18702080函数f x x x 2的零点所在的一个区间是 a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 2 2016 天津市和平区高三第四次模拟 设函数y log2x 1与y 22 x的图象的交点为 x0 y0 则x0所在的区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 1 函数y f x g x 有零点 函数y f x g x 与x轴有交点 方程f x g x 0有根 函数y f x 与y g x 的图象有交点 2 函数零点所在区间的判定方法 端点函数值异号判断法 图象交点法 画出两函数y f x y g x 的图象 其交点的横坐标是函数f x f x g x 的零点 以此来判断函数零点所在区间 转化法 方程f x g x 0的根就是函数f x f x g x 的零点 反思归纳 解析 1 f 1 0 且函数是增函数 故有唯一零点 故选b 2 令f x lnx x 4 则f x 在 0 上是增函数且连续不间断 因f 1 ln1 1 40 故x0 2 3 故选c 即时训练 1 函数f x 2x log2x 3在区间 1 2 内的零点个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 2 设x0是方程lnx x 4的解 则x0属于区间 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 考点二 函数零点的求法及零点个数的判断 解析 1 当x 0时 x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 则x 0 时函数有一个零点 当x 0时 2 lnx 0 解得x e2 则x 0 时有一个零点 所以f x 共有2个零点 即方程有2个根 故选b 答案 1 b 解析 2 f x 2sinxcosx x2 sin2x x2 则函数的零点即为函数y sin2x与函数y x2图象的交点 画图知 图略 两图象有2个交点 则函数有2个零点 答案 2 2 函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 令f x 0 若能求出解 则有几个解就有几个零点 2 函数f x 的图象在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的具体图象与性质 如单调性 奇偶性 才能确定函数有多少个零点 3 数形结合法 将已知函数转化为两个函数图象易作出的函数 画出两个函数的图象 看其交点的个数 有几个交点 就有几个零点 一般地 涉及三角函数 指 对数函数有关的函数零点个数常用数形结合法 反思归纳 2 函数f x x2 ln x 的零点的个数为 a 1 b 2 c 3 d 4 2 在同一直角坐标系内作出y ln x y x2的图象 如图 可知两函数图象有两个交点 即函数f x x2 ln x 有两个零点 故选b 考查角度1 根据已知函数的零点或方程的根所在区间求参数范围 考点三 函数零点的应用 解析 函数f x 在 1 2 内单调 结合条件可知f 1 f 2 0 即 2 2 a 4 1 a 0 即a a 3 0 解得0 a 3 故选c 根据已知函数的零点或方程的根所在区间求参数的取值范围 先判断函数的单调性 再利用零点存在性定理 建立参数所满足的不等式 解不等式 即得参数的取值范围 反思归纳 考查角度2 已知函数零点或方程根的个数 求参数范围 答案 0 1 1 已知函数零点或方程根的个数求参数的取值范围 先对解析式变形 再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象 数形结合求解 2 形如g x f x m的零点问题可转化为f x m求解 反思归纳 考查角度3 根据函数零点个数 综合运用函数性质求参数范围 例5 导学号18702083已知f x 对任意x 0 都有f x 1 f x 且当x 0 1 时 f x x 若函数g x f x loga x 1 0 a 1 在区间 0 4 上有两个零点 则实数a的取值范围是 涉及函数周期性 奇偶性以及根据函数零点个数求参数的综合问题时 可根据题目特征 作出满足题意的函数图象 利用数形结合思想求解 反思归纳 考查角度4 根据函数性质求函数多个零点 方程根 的和 求函数的多个零点 或方程的根以及直线y m与函数图象的多个交点横坐标 的和时 应考虑函数的性质 尤其是对称性特征 这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称 直线的对称等 反思归纳 备选例题 例1 已知函数f x 则当k 0时 函数y f f x 1的零点个数是 a 1 b 2 c 3 d 4 例2 若f x 是奇函数 且x0是y f x ex的一个零点 则 x0一定是下列哪个函数的零点 a y f x ex 1 b y f x e x 1 c y f x ex 1 d y f x ex 1 解析 作出函数f x 的图象 如图所示 由图可知 当m 1时直线y m与f x 的图象有两个交点 当m 1时直线y m与f x 的图象有一个交点 题意要求方程f2 x f x t 0有三个不同的实根 则方程m2 m t 0必有两不等实根 且一根小于1 一根不小于1 当1 1 t 0 即t 2时 方程m2 m 2 0的两根为1和 2 符合题意 当1 1 t 0 即t 2时 方程m2 m t 0有两不等实根 且一根小于1 一根大于1 符合题意 综上有t 2 故选a 例3 已知实数f x 若关于x的方程f2 x f x t 0有三个不同的实根 则t的取值范围为 a 2 b 1 c 2 1 d 2 1 函数图象不准确而致误 易混易错辨析用心练就一双慧眼 典例 已知函数f x 若方程f x a 0有三个不同的实数根 则实数a的取值范围为 a 1 3 b 0 3 c 0 2 d 0 1 解析 画出函数f x 的图象如图所示 观察图象可知 若方程f x a 0有三个不同