八年级数学上册 第12章 全等三角形的判定（HL）（ 第5课时）学案 （新版）新人教版.doc

全等三角形的判定（hl）一、学习目标l 掌握直角三角形全等的判定方法：“斜边、直角边”；l 经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；l 在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理地思考并进行简单的推理二、知识回顾1判定两个三角形全等的方法有sss、sas、asa、aas2如图，rtabc中，直角边是 bc、ac，斜边是 ab 3如图，abbe于b，debe于e，若a=d，ab=de，则abc与def全等，根据asa三、新知讲解1斜边、直角边定理（hl）文字描述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等符号语言：在rtabc与rtdef中，abc=def=90，rtabcrtdef（hl）图示：2探究三角形全等的思路（1）已知两边（2）已知一边一角（3）已知两角四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1利用hl证全等【例1】（2013秋合浦县期末）如图，已知a=d=90，e、f在线段bc上，de与af交于点o，且ab=cd，be=cf求证：rtabfrtdce总结：1判定直角三角形全等共有五种方法：“sss”“asa”“aas”和“hl”；一般先考虑利用“hl”定理，再考虑利用一般三角形全等的判定方法；2“hl”定理是直角三角形所特有的判定方法，对于一般的三角形不成立；3判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已有“两个直角相等”的条件，只需再找两个条件，但所找条件中必须有一组边对应相等练1（2014秋东莞市校级期中）如图，要用“hl”判定rtabc和rtabc全等的条件是（）aac=ac，bc=bc ba=a，ab=abcac=ac，ab=ab db=b，bc=bc练2（2014秋曹县期末）如图，已知abcd，垂足为b，bc=be，若直接应用“hl”判定abcdbe，则需要添加的一个条件是 2利用hl证全等，再证边角相等【例2】如图，abbc，addc，ab=ad求证：cb=cd总结：证明角或线段相等可以从证明角或线段所在的三角形全等入手. 在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等关系练3（2010春常州期末）如图，mnpq，abpq，点a、d、b、c分别在直线mn与pq上，点e在ab上，ad+bc=7，ad=eb，de=ec，则ab= 练4已知如图，a=90，d=90，且ae=de，求证：acb=dbc3利用hl解决实际问题【例3】（2008春招远市期末）如图，a、b、c、d是四个村庄，b、d、c三村在一条东西走向公路的沿线上，且d村到b村、c村的距离相等；村庄a与c，a与d间也有公路相连，且公路 ad是南北走向；只有村庄a、b之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得ac=3千米，ae=1.2千米，bf=0.7千米试求建造的斜拉桥至少有多少千米.总结：对于实际问题，要善于转化为数学问题，充分运用题目条件、图形条件，寻找三角形全等的条件，从而证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求对应边长或对应角的大小练5如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离bd与cd的距离间的关系是（）abdcd bbdcd cbd=cd d不能确定五、课后小测一、选择题1（2014秋隆化县校级期中）下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）a两条直角边对应相等b两个锐角对应相等c一条直角边和它所对的锐角对应相等d一个锐角和锐角所对的直角边对应相等2（2014春揭西县校级月考）如图，o是bac内一点，且点o到ab，ac的距离oe=of，则aeoafo的依据是（）ahl baas csss dasa3（2013秋镇江校级期中）已知：如图所示，abc与abd中，c=d=90，要使abcabd（hl）成立，还需要加的条件是（）abac=bad bbc=bd或ac=adcabc=abd dab为公共边4（2014秋江津区期中）如图，b=d=90，bc=cd，1=40，则2=（）a40 b50 c60 d75二、填空题5（2013秋亭湖区校级期中）如图，abc中，adbc于d，要使abdacd，若根据“hl”判定，还需加条件 6（2011秋莆田期中）如图，b=d=90，bc=dc，1=40，则2= 度7（2013秋平定县期中）如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上已知左边滑梯的高度ac与右边滑梯水平方向的长度df相等，滑梯bc与地面夹角abc=35，则滑梯ef与地面夹角dfe的度数是 三、解答题8（2002呼和浩特）如图，abc中，acb=90，ac=bc，ae是bc边上的中线，过c作cfae，垂足为f，过b作bdbc交cf的延长线于d（1）求证：ae=cd；（2）若ac=12cm，求bd的长9（2013秋溧水县校级月考）如图，这是建筑物上的人字架，已知：ab=ac，adbc，则bd与cd相等吗？为什么？10（2012春武侯区期末）小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在aob的两边分别取oc=od，再分别以c、d为垂足，用三角板作oa、ob的垂线，交点为p，作射线op，则op就是aob的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释典例探究答案：【例1】【解析】由于abf与dce是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明证明：be=cf，be+ef=cf+ef，即bf=ce.a=d=90，abf与dce都为直角三角形，在rtabf和rtdce中，rtabfrtdce（hl）点评：此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由be=cf通过等量代换得到bf=ce练1【解析】根据直角三角形全等的判定方法（hl）即可直接得出答案解：在rtabc和rtabc中，如果ac=ac，ab=ab，那么bc一定等于bc，rtabc和rtabc一定全等，故选c点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题练2【解析】先求出abc=dbe=90，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可解：ac=de，理由是：abdc，abc=dbe=90，在rtabc和rtdbe中，rtabcrtdbe（hl）故答案为：ac=de点评：本题考查了全等三角形的判定定理，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有sas，asa，aas，sss，hl【例2】【解析】根据已知条件，利用“hl”判定rtabcrtadc，根据全等三角形的对应边相等即可得到cb=cd证明：abbc，addc，b=d=90在rtabc和rtadc中，rtabcrtadccb=cd点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法“hl”的理解及运用，常用的判定方法有“sas”“asa”“aas”“sss”练3【解析】可判定adebce，从而得出ae=bc，则ab=ad+bc解：mnpq，abpq，abmn，dae=ebc=90，在rtade和rtbce中，adebec（hl），ae=bc，ad+bc=7，ab=ae+be=ad+bc=7故答案为7点评：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单练4【解析】由图片和已知，可得abedce，则be=ce，然后再证明rtabertdce，即可得证证明：a=d=90，ae=de（已知），aeb=dec（对顶角相等），abedce（asa），ab=dc，在rtabe和rtdce中，rtabertdce，acb=dbc点评：本题主要考查全等三角形全等的判定，注意需证明两次全等【例3】【解析】根据bd=cd，bda=cda=90，ad=ad，得出rtadbrtadc，进而得出ab=ac=3，即可得出斜拉桥长度解：由题意，知bd=cd，bda=cda=90，ad=ad，则rtadbrtadc（sas），所以ab=ac=3千米，故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（千米）点评：此题主要考查了直角三角形全等的判定以及性质，根据已知得出rtadbrtadc是解决问题的关键练5【解析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断ab=ac，又ad=ad，adbc，所以rtabdrtacd，所以bd=cd解：adbc，adb=adc=90，由ab=ac，ad=ad，rtabdrtacd（hl），bd=cd故选c点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件本题关键是证明rtabdrtacd课后小测答案：一、选择题1【解析】a、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理sas来判定两直角三角形全等，故本选项正确；b、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，aaa没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误；c、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理asa来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；d、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理asa或aas来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；故选b2【解析】oeab，ofac，aeo=afo=90，又oe=of，ao为公共边，aeoafo故选a3【解析】需要添加的条件为bc=bd或ac=ad，理由为：若添加的条件为bc=bd，在rtabc与rtabd中，rtabcrtabd（hl）；若添加的条件为ac=ad，在rtabc与rtabd中，rtabcrtabd（hl）故选b4【解析】b=d=90，在rtabc和rtadc中，rtabcrtadc（hl），2=acb=901=50故选b二、填空题5【解析】还需添加条件ab=ac，adbc于d，adb=adc=90，在rtabd和rtacd中，rtabdrtacd（hl），故答案为：ab=ac6【解析】在直角abc与直角adc中，bc=dc，ac=ac，abcadc，2=acb，在abc中，acb=180b1=50，2=50故填507【解析】在rtabc和rtdef中，rtabcrtdef（hl），def=abc=35，dfe=9035=55故答案为：55三、解答题8【解析】（1）证明：dbbc，cfae，dcb+d=dcb+aec=90d=aec又dbc=eca=90，且bc=ca，在dbc和eca中，,dbceca（aas）ae=cd（2）解：由（1）得ae=cd，ac=