高考数学大一轮复习 第十篇 计数原理 概率 随机变量及其分布 第6节 离散型随机变量的分布列及均值和方差课件 理.ppt

第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差 最新考纲 考点专项突破 知识链条完善 解题规范夯实 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 随机变量和函数有何联系和区别 提示 联系 随机变量和函数都是一种映射 随机变量是随机试验结果到实数的映射 函数是实数到实数的映射 随机试验结果的范围相当于函数的定义域 随机变量的取值范围相当于函数的值域 区别 随机变量的自变量是试验结果 而函数的自变量是实数 2 离散型随机变量分布列的性质是什么 提示 随机变量的各个值对应的概率在 0 1 上且取所有值的概率之和等于1 3 离散型随机变量方差的意义是什么 提示 随机变量的取值与其均值的偏离程度 方差越大偏离程度越大 知识梳理 1 离散型随机变量的概念与分布列 1 随机变量 一般地 如果随机试验的结果 可以用一个变量来表示 那么这样的变量叫做随机变量 通常用大写拉丁字母x y z 或小写希腊字母 等表示 而用小写拉丁字母x y z 加上适当下标 等表示随机变量取的可能值 所有取值可以一一列出的随机变量 称为 2 离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量x可能取的不同值为x1 x x x x取每一个值xi i 1 2 n 的概率p x xi pi以表格的形式表示如下 离散型随机变量 将上表称为离散型随机变量x的概率分布列 简称为x的分布列 有时为了表达简单 也用等式p x xi pi i 1 2 n表示x的分布列 3 离散型随机变量概率分布列的性质 pi 0 i 1 2 n p1 p2 pn 1 2 离散型随机变量的均值 1 概念 一般地 若离散型随机变量x的分布列为 则称e x 为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 x1p1 x2p2 xipi xnpn 2 性质 若y ax b 其中x是随机变量 a b是常数 随机变量x的数学期望是e x 则e y ae x b 3 离散型随机变量的方差 1 概念 离散型随机变量x的分布列为 2 性质 d ax b a2d x 4 两点分布和超几何分布 1 两点分布的分布列 均值和方差 若x服从成功概率为p的两点分布 则均值e x p 方差d x p 1 p 为超几何分布列 如果随机变量x的分布列为超几何分布列 则称随机变量x服从超几何分布 对点自测 1 抛掷甲 乙两颗骰子 所得点数之和为x 那么x 4表示的基本事件是 a 一颗是3点 一颗是1点 b 两颗都是2点 c 一颗是3点 一颗是1点或两颗都是2点 d 甲是3点 乙是1点或甲是1点 乙是3点或两颗都是2点 d 解析 甲是3点 乙是1点与甲是1点 乙是3点是试验的两个不同结果 故选d c 2 某射手射击所得环数x的分布列为 则此射手 射击一次命中环数大于7 的概率为 a 0 28 b 0 88 c 0 79 d 0 51 解析 p x 7 p x 8 p x 9 p x 10 0 28 0 29 0 22 0 79 3 投掷一枚硬币 规定正面向上得1分 反面向上得 1分 则x的期望e x 解析 x的分布列为 所求的均值为e x 1 0 5 1 0 5 0 答案 0 4 若随机变量x满足p x c 1 其中c为常数 则其方差d x 解析 e x c 1 c d x c c 2 1 0 答案 0 5 一盒中有12个乒乓球 其中9个新的 3个旧的 从盒子中任取3个球来用 用完即为旧的 用完后装回盒中 此时盒中旧球个数x是一个随机变量 则p x 4 的值为 答案 考点专项突破在讲练中理解知识 离散型随机变量的分布列 考点一 例1 2015 天津卷 为推动乒乓球运动的发展 某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 现有来自甲协会的运动员3名 其中种子选手2名 乙协会的运动员5名 其中种子选手3名 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛 1 设a为事件 选出的4人中恰有2名种子选手 且这2名种子选手来自同一个协会 求事件a发生的概率 2 设x为选出的4人中种子选手的人数 求随机变量x的分布列 即时训练 从集合 1 2 3 4 5 的所有非空子集中 等可能地取出一个 记所取出的非空子集的元素个数为 求 的分布列 离散型随机变量的均值 高频考点 考点二 考查角度1 求离散型随机变量的均值 例2 2016 天津卷 某小组共10人 利用假期参加义工活动 已知参加义工活动次数为1 2 3的人数分别为3 3 4 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会 1 设a为事件 选出的2人参加义工活动次数之和为4 求事件a发生的概率 2 设x为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值 求随机变量x的分布列和数学期望 反思归纳求离散型随机变量均值的步骤 1 理解随机变量x的意义 写出x可能取得的全部值 2 求x的每个值的概率 3 写出x的分布列 4 由均值定义求出e x 考查角度2 离散型随机变量均值的应用 例3 导学号18702588在微信群中抢红包已成为一种娱乐 甲 乙两人经常在微信群中抢红包 1 已知甲在a微信群中发现某位 微友 发放的4个红包中1元的红包有2个 2元和3元的红包各有1个 若该微信群中恰有三人在线 且每个红包都被抢走 每人不限制抢得红包的个数 求甲抢得红包的总钱数为4的概率 反思归纳求解离散型随机变量的分布列与数学期望时 一定要明确每个变量的取值所对应的事件发生的过程 这样才能判断事件的性质 进而选用相应的概率模型求其概率 离散型随机变量的方差 考点三 例4 导学号18702589如图 a b两点由5条连线并联 它们在单位时间内能通过信息的最大量依次为2 3 4 3 2 现将从中任取三条线且在单位时间内都通过最大信息量的总量记为x 求x的均值和方差 反思归纳计算离散型随机变量的方差关键是先求分布列 只要知道了分布列 就可以求出均值进而根据公式求出方差 超几何分布及其应用 高频考点 考点四 考查角度1 利用超几何分布模型求概率 例5 导学号18702591在15个村庄中有7个村庄交通不方便 现从中任意选10个村庄 用 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数 下列概率等于的是 a p 2 b p 2 c p 4 d p 4 考查角度2 求超几何分布的均值 例6 导学号18702593在一次购物抽奖活动中 假设某10张券中有一等奖券1张 可获价值50元的奖品 有二等奖券3张 每张可获价值10元的奖品 其余6张没有奖 某顾客从此10张券中任抽2张 求 1 该顾客中奖的概率 2 该顾客获得的奖品总价值x 元 的概率分布列和期望e x 反思归纳超几何分布是非常重要的一个概率分布 它具有极为广泛的应用 其基本特点是总体有a b两类元素 如男女 正品次品等 组成 从总体中不放回的取出一定数目的元素 其中含有一类元素的个数即服从超几何分布 超几何分布中随机变量取各个值的概率是古典概型 使用古典概型的公式进行计算 备选例题 例题 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝10元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 1 若花店一天购进16枝玫瑰花 求当天的利润y 单位 元 关于当天需求量n 单位 枝 n n 的函数解析式 2 花店记录了100天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得表 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 若花店一天购进16枝玫瑰花 x表示当天的利润 单位 元 求x的分布列 数学期望及方差 解 2 由题意知 日需求量n与对应概率如表 由题意知x 60 70 80 且p x 60 p n 14 0 1 p x 70 p n 15 0 2 p x 80 p n 16 0 7 所以x的分布列为 x的数学期望e x 60 0 1 70 0 2 80 0 7 76 x的方差d x 60 76 2 0 1 70 76 2 0 2 80 76 2 0 7 44 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花 你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由 解 答案一 花店一天应购进16枝 理由如下 当花店一天购进17枝玫瑰花时 用y表示当天的利润 单位 元 则y 55 65 75 85 p y 55 p n 14 0 1 p y 65 p n 15 0 2 p y 75 p n 16 0 16 p y 85 p n 17 0 54 所以y的分布列为 所以e y 55 0 1 65 0 2 75 0 16 85 0 54 76 4 d y 55 76 4 2 0 1 65 76 4 2 0 2 75 76 4 2 0 16 85 76 4 2 0 54 112 04 综上知d x d y 且相差较大 虽然e x e y 但相差不大 所以一天购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小 且平均获利基本相同 故花店一天应购进16枝玫瑰花 答案二 花店一天应购进17枝玫瑰花 理由如下 若花店一天购进17枝玫瑰花 y表示当天的利润 单位 元 则y的分布列为 y的期望为e y 55 0 1 65 0 2 75 0 16 85 0 54 76 4 可知e y e x 故购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润 故花店一天应购进17枝玫瑰花 解题规范夯实把典型问题的解决程序化 求解概率综合题的解题步骤 典例 12分 2015 陕西卷 设某校新 老校区之间开车单程所需时间为t t只与道路畅通状况有关 对其容量为100的样本进行统计 结果如下 1 求t的分布列与数学期望e t 2 刘教授驾车从老校区出发 前往新校区做一个50分钟的讲座 结束后立即返回老校区 求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率 审题突破 解 1 由统计结果可得t的频率分布为 满分展示 以频率估计概率得t的分布列为 从而e t 25 0 2 30 0 3 35 0 4 40 0 1 32 分钟 4分 2 设t1 t2分别表示往 返所需时间 t1 t2的取值相互独立 且与t的分布列相同 设事件a表示 刘教授共用时间不超过120分钟 由于讲座时间为50分钟 所以事件a对应于 刘教授在路途中的时间不超过70分钟 p a p t1 t2 70 p t1 25 t2 45 p t1 30 t2 40 p t