高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时 余弦定理课件 新人教A版必修5.ppt

第一章 解三角形 1 1正弦定理和余弦定理 第2课时余弦定理 课前自主学习 中国海监船肩负着我国海域的维权 执法使命 某时某中国海监船位于中国南海的a处 与我国海岛b相距snmile 据观测得知有一外国探油船位于我国海域c处进行非法资源勘探 这艘中国海监船奉命以vnmile 小时的速度前去驱逐 假如能测得 bac bc mnmile 你能根据上述数据计算出它赶到c处的时间吗 1 依据所学知识判断正误 1 正确的在括号内填t 错误的在括号内填f 已知两个三角形两边及其夹角对应相等 则两个三角形全等 已知两个三角形三边分别对应相等 则两个三角形全等 已知两个三角形有两角及一边分别对应相等 则两个三角形全等 已知两边和其中一边的对角解三角形 可能有一解 两解或无解 2 在 abc中 正弦定理的表达式是 t t t t 2 自主探究在 abc中 若ab 4 ac 6 a 60 1 这个三角形能确定吗 2 你能利用正弦定理求出bc吗 3 能否利用平面向量求边bc 如何求得 4 2 和 3 哪种方法简便 利用 3 的方法 能否推导出用b c a表示a 3 由上面的探究我们可以得到余弦定理在三角形中 任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 即a2 b2 c2 你能否建立坐标系 结合解直角三角形的知识用解析法证明余弦定理 b2 c2 2bccosa c2 a2 2accosb a2 b2 2abcosc 提示 如图 以点a为原点 以 abc的边ab所在直线为x轴 以过点a与ab垂直的直线为y轴 建立平面直角坐标系 则a 0 0 c bcosa bsina b c 0 由两点间的距离公式得bc2 bcosa c 2 bsina 0 2 即a2 b2cos2a 2bccosa c2 b2sin2a a2 b2 c2 2bccosa 同理可证b2 a2 c2 2accosb c2 a2 b2 2abcosc 4 余弦定理的变形根据余弦定理 可以得到以下推论 cosa cosb cosc 5 余弦定理与勾股定理有何关系 在 abc中 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosc 若角c 90 则cosc 0 于是c2 a2 b2 2a b 0 a2 b2 这说明勾股定理是余弦定理的特例 余弦定理是勾股定理的推广 设c是 abc中最大的边 或c是 abc中最大的角 则a2 b2c2 abc是 三角形 且角c为 钝角 钝角 直角 直角 锐角 锐角 c 120 课堂典例讲练 命题方向1 已知两边及一角解三角形 规律总结 已知两边及一角解三角形的方法 1 当已知两边及它们的夹角时 用余弦定理求解出第三边 再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角 只有一解 2 当已知两边及其一边的对角时 可用余弦定理建立一元二次方程 解方程求出第三边 也可用正弦定理求解 但都要注意解的情况的讨论 利用余弦定理求解相对简便 d 2 已知 abc中 a 1 b 1 c 120 则边c 命题方向2 已知三边解三角形 规律总结 已知三边解三角形的方法 1 先利用余弦定理求出一个角的余弦 从而求出第一个角 再利用余弦定理或由求得的第一个角 利用正弦定理求出第二个角 最后利用三角形的内角和定理求出第三个角 2 利用余弦定理求三角的余弦 进而求得三个角 120 命题方向3 判断三角形的形状 规律总结 已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状 可先观察条件式的特点 再依据此特点选取变形方法 当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形 当等式两边含有角的正弦的同次幂时 常用正弦定理变形 当含有边的积式及边的平方和与差的形式时 常考虑用余弦定理变形 可以化边为角 通过三角变换求解 也可以化角为边 通过因式分解 配方等方法得出边的关系等等 命题方向4 正弦 余弦定理的综合应用 分析 欲求bc 在 bcd中 已知 bcd bdc可求 故须再知一条边 而已知 bda和ab ad 故可在 abd中 用正弦定理或余弦定理求得bd 这样在 bcd中 由正弦定理可求bc 分析 1 已知等式2cosc acosb bcosa c中有角有边 且等式两边边长的次数相同 结合括号内式子的特点联想到两角和的正弦公式 故化边为角 结合内角和定理及诱导公式求解 2 已知边c 角c和三角形面积 利用面积公式可求得a